複素平面

質問

複素平面上で次の方程式を満たす点ｚの描く図形を求めよ
|z-2i|=|z+4|

両辺を2乗してからどうするのですか？
詳しい解説お願いします。

ちなみに、参考書によると、答えは点2i, -4 を結ぶ線分の垂直2 等分線です。

回答No.3

keiryu · ベストアンサー

複素平面でそのまま考えます。
|z-2i|は、2iを起点としたzまでの距離をあらわしている。
|z-(-4)|は-4を起点としたzまでの距離。これが等しいのだから、zは、2iと-4から等距離にある点ということ。
即ち、y軸の2とχ軸の－4から等距離にあるということで、2と-4を結ぶ線分の垂直二等分線ということになる。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

info222_

|z-2i|=|z+4|　...(1)

|z-2i|はzとz1=2iの距離を表しています。
また|z+4|はzとz2=-4の距離を表しています。
この共通なzは２点z1=2iとz2=-4と等距離にある点です。すなわちｚは線分z1-z2の垂直２等分線上の点である。
すなわち、(1)は
２点z1=2iとz2=-4を結ぶ線分z1-z2の垂直２等分線の方程式そのものだといえます。

あえて、z=x+iy (x,yは実数)とおいたときのxとyの関係として求めたいのであれば
|x+i(y-2)|=|x+4+iy|
|x+i(y-2)|^2=|x+4+iy|^2
x^2+(y-2)^2=(x+4)^2+y^2
両辺からx^2+y^2を引けば
4-4y=8x+16
2x+y+3=0 or y=-2x-3　...(2) ←直交座標での垂直２等分線の式
となります。x=tとおけば　y=-2t-3
z=x+iy=t- i (2t+3) (tは媒介変数）
すなわち、(1)を満たすzは
z=t- i(2t+3) (tは媒介変数）...(3)
と表すこともできます。
この(3)が垂直２等分線の複素表現の方程式です。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

spring135

ガウス平面で考えれば

|z-2i|=|z+4|　　　　(1)

は点2i, -4からの距離が等しい点Zの集合なので中学校で習ったように2点を結ぶ線分の垂直2等分線です。

計算として示したければ

z=x+iy

と表示して(1)に代入し

|x+i(y-2)|=|x+4+iy|

両辺を２乗して整理すると

y=-2x-3

これは点2i, -4の中点-2+iを通り、傾きが-2であって、点2i, -4を結ぶ直線Lの傾き1/2との積が-1

になっていることからLに垂直であることがわかります。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。