複素関数の問題

質問

複素関数の問題

次の複素関数の問題ですが,この関数の特異点が分からずに困っています？

f(z) = 2 / ( λz^2 + 2μiz - λ )

ただし
　 z 　：複素数
λ・μ：実定数でμ>λ>0です

追加で,この複素関数の特異点も教えていただけると幸いです

f(z) = z^-c / ( 1+z )

ただし、0<c<1

です

これの特異点は-1でいいのでしょうか？

以上、よろしくお願い致します

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

前半
λz^2 + 2μiz - λ=-λ{(iz)^2-2(μ/λ)(iz)+1=0
iz=(μ/λ)±√{(μ/λ)^2-1}
μ>λ>0なので右辺は正の実数です。
z=-i[(μ/λ)±√{(μ/λ)^2-1}]
これは2つとも純虚数でf(z)の特異点となります。

後半
-1は1位の特異点です。
0も特異点ですが、1位の特異点や分離可能な特異点ではありません。

回答No.5

alice_44

不自然な喰い下がり方をしているようですが…

前半 :
平方完成は、中学生の範囲です。
マスターしていないなら、要復習。

後半 :
勝手に回答の内容を改変しないように。
留数は、定義を本で確認すれば解るように、
-1次項の係数です。1次項の係数ではありません。

特異点が真性特異点であれ、2 位以上の極であれ、
1 位の極でなければ、
留数が 0 である可能性はあるけれども、
0 とは限らないのだから、値も求めずに
留数を無視することはできない…と言ってるのです。

それが、追加質問への回答です。
1 次項の係数は、関係ありませんよ。

お礼

丁寧に回答下さりありがとうございます

大変勉強になりました
↑2が何を表しているのかは分からずじまいでしたが…

それでも,何度も何度も質問に答えて下さり、本当にありがとうございました

回答No.4

alice_44

前半 :
(z + iμ/λ)↑2 = 1 + (μ/λ)↑2
ですよ？
i↑2 = -1 を忘れてませんか。

後半 :
用語が、あまり良くないようですが…

真性特異点は、ローラン展開の主要部(負次の項)
が無限項ある点のことです。
留数(-1 次項の係数)は、0 でも構いませんが、
0 とは限らないので、その留数は無視できません。

お礼

ご回答いただきありがとうございます.

恥ずかしながら↑2 が何を指しているのかよく分かりません.

i↑2 = -1とあるので2乗のことかと思ったのですが,
それだと

(z + iμ/λ)↑2 = 1 + (μ/λ)↑2

の右辺でzが無くなる理由がわかりませんでした.

また、

留数(-1 次項の係数)は、0 でも構いませんが、
0 とは限らないので、その留数は無視できません。

とのことですが、

留数(-1 次項の係数（今は-1）)は、0 でも構いませんが、
(1次項?の係数は)0 とは限らないので、その(1次項?）留数は無視できません。

という理解でよろしいのでしょうか？

回答No.3

alice_44

後半
z = -1 は、1 位の極で、
z = 0 は、真性特異点ですね。

(z^m)・f(z) の m をどれだけ大きくしても、
z = 0 で任意回微分可能になりませんからね。

お礼

回答いただいたお二方,ありがとうございます.
その後自分でも計算してみましたが,
1.で
分母→0のとき
λz^2 + 2μiz - λ= 0

z^2 + ( 2μiz / λ ) -1 = 0

( z + μi/λ )^2 =[ 1 - ( μ^2 / λ^2 )] (1)

z = i ( -μ ± √ [( μ^2 - λ^2 )] ) / λ(2)

で [ ]で囲った部分の順番が入れ替わり,虚数になっているのは,

μ>λ>0 なので

( μ / λ ) < 1

となるからでしょうか？

また2.で
特異点は0と1というのは分かりましたが
1位の特異点や分離可能な特異点ではない0は
特異点での留数の計算をする場合,無視すればよいのでしょうか？

以上,よろしくお願い致します

回答No.1

muturajcp

1.
f(z)=2/(λz^2+2μiz-λ)
分母→0のとき
λz^2+2μiz-λ=0
z^2+(2μiz/λ)-1=0
(z+μi/λ)^2=1-(μ^2/λ^2)
z=i(-μ±√(μ^2-λ^2))/λ
となるから
f(z)=2λ/([λz-i{-μ+√(μ^2-λ^2)}][λz-i{-μ+√(μ^2-λ^2)}])
∴
f(z)は
z=i(-μ+√(μ^2-λ^2))/λ
と
z=i(-μ-√(μ^2-λ^2))/λ
で特異点を持つ

2.
f(z)=(z^{-c})/(1+z)
0<c<1

lim_{z→0}(z^{-c})/(1+z)=lim_{z→0}(1/z^c)/(1+0)=∞
lim_{z→-1}(z^{-c})/(1+z)=lim_{z→0}(1/(-1)^c)/(1+z)=∞
だから
f(z)は
z=-1
と
z=0
で特異点を持つ