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複素関数の問題

複素関数の問題 次の複素関数の問題ですが,この関数の特異点が分からずに困っています? f(z) = 2 / ( λz^2 + 2μiz - λ ) ただし   z  :複素数 λ・μ:実定数でμ>λ>0です 追加で,この複素関数の特異点も教えていただけると幸いです f(z) = z^-c / ( 1+z ) ただし、0<c<1 です これの特異点は-1でいいのでしょうか? 以上、よろしくお願い致します

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  • 回答No.2
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

前半 λz^2 + 2μiz - λ=-λ{(iz)^2-2(μ/λ)(iz)+1=0 iz=(μ/λ)±√{(μ/λ)^2-1} μ>λ>0なので右辺は正の実数です。 z=-i[(μ/λ)±√{(μ/λ)^2-1}] これは2つとも純虚数でf(z)の特異点となります。 後半 -1は1位の特異点です。 0も特異点ですが、1位の特異点や分離可能な特異点ではありません。

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  • 回答No.5
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

不自然な喰い下がり方をしているようですが… 前半 : 平方完成は、中学生の範囲です。 マスターしていないなら、要復習。 後半 : 勝手に回答の内容を改変しないように。 留数は、定義を本で確認すれば解るように、 -1次項の係数です。1次項の係数ではありません。 特異点が真性特異点であれ、2 位以上の極であれ、 1 位の極でなければ、 留数が 0 である可能性はあるけれども、 0 とは限らないのだから、値も求めずに 留数を無視することはできない…と言ってるのです。 それが、追加質問への回答です。 1 次項の係数は、関係ありませんよ。

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質問者からのお礼

丁寧に回答下さりありがとうございます 大変勉強になりました ↑2が何を表しているのかは分からずじまいでしたが… それでも,何度も何度も質問に答えて下さり、本当にありがとうございました

  • 回答No.4
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

前半 : (z + iμ/λ)↑2 = 1 + (μ/λ)↑2 ですよ? i↑2 = -1 を忘れてませんか。 後半 : 用語が、あまり良くないようですが… 真性特異点は、ローラン展開の主要部(負次の項) が無限項ある点のことです。 留数(-1 次項の係数)は、0 でも構いませんが、 0 とは限らないので、その留数は無視できません。

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質問者からのお礼

ご回答いただきありがとうございます. 恥ずかしながら↑2 が何を指しているのかよく分かりません. i↑2 = -1とあるので2乗のことかと思ったのですが, それだと (z + iμ/λ)↑2 = 1 + (μ/λ)↑2 の右辺でzが無くなる理由がわかりませんでした. また、 留数(-1 次項の係数)は、0 でも構いませんが、 0 とは限らないので、その留数は無視できません。 とのことですが、 留数(-1 次項の係数(今は-1))は、0 でも構いませんが、 (1次項?の係数は)0 とは限らないので、その(1次項?)留数は無視できません。 という理解でよろしいのでしょうか?

  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

後半 z = -1 は、1 位の極で、 z = 0 は、真性特異点ですね。 (z^m)・f(z) の m をどれだけ大きくしても、 z = 0 で任意回微分可能になりませんからね。

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質問者からのお礼

回答いただいたお二方,ありがとうございます. その後自分でも計算してみましたが, 1.で 分母→0のとき λz^2 + 2μiz - λ= 0 z^2 + ( 2μiz / λ ) -1 = 0 ( z + μi/λ )^2 =[ 1 - ( μ^2 / λ^2 )] (1) z = i ( -μ ± √ [( μ^2 - λ^2 )] ) / λ(2) で [ ]で囲った部分の順番が入れ替わり,虚数になっているのは, μ>λ>0 なので ( μ / λ ) < 1 となるからでしょうか? また2.で 特異点は0と1というのは分かりましたが 1位の特異点や分離可能な特異点ではない0は 特異点での留数の計算をする場合,無視すればよいのでしょうか? 以上,よろしくお願い致します

  • 回答No.1

1. f(z)=2/(λz^2+2μiz-λ) 分母→0のとき λz^2+2μiz-λ=0 z^2+(2μiz/λ)-1=0 (z+μi/λ)^2=1-(μ^2/λ^2) z=i(-μ±√(μ^2-λ^2))/λ となるから f(z)=2λ/([λz-i{-μ+√(μ^2-λ^2)}][λz-i{-μ+√(μ^2-λ^2)}]) ∴ f(z)は z=i(-μ+√(μ^2-λ^2))/λ と z=i(-μ-√(μ^2-λ^2))/λ で特異点を持つ 2. f(z)=(z^{-c})/(1+z) 0<c<1 lim_{z→0}(z^{-c})/(1+z)=lim_{z→0}(1/z^c)/(1+0)=∞ lim_{z→-1}(z^{-c})/(1+z)=lim_{z→0}(1/(-1)^c)/(1+z)=∞ だから f(z)は z=-1 と z=0 で特異点を持つ

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