複素関数の問題です

質問

複素関数の問題です。

次の問題が解けなくて困っています。どなたか解説できる方宜しくお願いします。

f(z)は，|z|≦1の領域で正則な複素関数とする．
(1) nを自然数とするとき，∫[0→2π]f(e^iθ)cos(nθ)dθ={π/(n!)}f^(n)(0)が成り立つことを示せ．
(e^iθ=zで置換)

(2) mを自然数とするとき，∫[0→2π]f(e^iθ)cos^(2m)θdθ={π/2^(2m-1)}Σ[k=0,m]C(2m,k){f^(2m-2k)(0)}/{(2m-2k)!}が成り立つことを示せ．ただし，f^(0)(0)=f(0)とする．

(3) ∫[0→2π]cos(2mθ)cos^(2m)θdθ=π/2^(2m-1)を示せ．
(zの領域に注意)

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回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

(1)のヒントを使えばすべて留数を求める問題になります。

(1)z=e^(iθ)とおいてこの積分を書き換えましょう。
経路は|z|=1を反時計回りに1周する閉じた経路となりますので、|z|=1で囲まれた領域内にある特異点の留数の和に2πiをかければよいことになります。

f(e^(iθ))=f(z)となるのはすぐにわかります。
cos(nθ)は一度(1/2){e^(inθ)+e^(-inθ)}と変形すればよいでしょう。e^(inθ)={e^(iθ)}^nであり、e^(-inθ)=1/{e^(iθ)}^nです。
dθとdzの関係は簡単ですね。

留数はローラン展開した時の1/zの係数のことです。f(z)は|z|≦1で正則ですのでこの領域ではテーラー展開可能です。その式を入れると簡単にローラン展開した式が得られるでしょう。
もちろん、必要な項は1/zの同次項だけです。

(2)これも{cosθ}^(2m)=[(1/2){e^(iθ)+e^(-iθ)}]^(2m)　として展開しましょう。二項定理が使えます。
この式とf(z)をテーラー展開した式とdθ/dzからの要素の籍を展開して1/zの項だけをとりだせばよいのです。

(3)
(1)や(2)を使いたくなり、f(z)=cos(2mθ)と置けないかと考えたくなりますが、これまでの計算でわかるとおりcos(2mθ)は|z|<1の領域内に特異点を持つためこのようなf(z)を作り出すことはできません。
素直にcos(2mθ)と{cosθ}~(2m)を(1),(2)でやったように変形してしまうのがよいでしょう。

お礼

詳しい解説ありがとうございます！
なんとか無事解くことができました！