複素関数の質問

質問

f(z)がDで正則であるとする。Dにおいて|f(z)|が定数であるとき、|f(z)|~は正則ですか？
|f(z)|~は|f(z)|の複素共役を表す。

回答No.1

transcendental · ベストアンサー

｜ｆ（ｚ）｜が定数（非負実数）ならば、実数の共役は自分自身ですから、｜ｆ（ｚ）｜の共役複素数もまたｃです。
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｜ｆ（ｚ）｜＝ｃ（定数）のとき、ｆ（ｚ）は定数値関数であることを示してみます。
ｃ＝０ならば、ｆ＝０である。
ｃ≠０とすると、u＾２＋ｖ＾２＝ｃ＾２より、
u・（∂u/∂ｘ）＋ｖ・（∂ｖ/∂ｘ）＝０,
u・（∂u/∂y）＋ｖ・（∂ｖ/∂y）＝０
が得られ、この連立方程式が自明でない解（u、ｖ）をもつから、
（∂u/∂ｘ）（∂ｖ/∂ｙ）－（∂u/∂ｙ）（∂ｖ/∂ｘ）＝０、ゆえにCauchy-Riemannの関係式によって、（∂u/∂ｘ）＾２＋（∂ｖ/∂ｘ）＾２＝０、すなわち、ｆ’＝０．したがって、ｆはDで定数値関数です。

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回答ありがとうございました。