- ベストアンサー
複素積分の証明問題です。
複素積分に関する難問です。よろしくお願いします。 z平面上の|z|<1で正則かつ|z|<1で連続な関数k(z)は、0<r<1、0<θ<2πを満たす任意のr、θに対し、 k(re^iθ)=(1/2π)∫[0, 2π](1-r^2)k(e^iφ)/(1+r^2-2rcos(θ-φ))dφ を満たすことを示すにはどうしたらよいでしょうか。
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
関連するQ&A
- 複素積分の問題です。
複素積分の問題です。 複素平面上の3つの曲線 C: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?2π) D: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?4π) C1: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?π) C2: z(θ)= 1+1/2re^(-iθ) (0?θ?π) を考える。このとき、複素積分 ∫_c?1/(z-1)dz,4 ∫_D?1/(z-1)dz, ∫_c1?1/(z-1)dz, ∫_c2?1/(z-1)dz, ∫_c?1/zdz の値をそれぞれ求めよ。またその結果により、どのような定理が立つことが予想されるか。 全然わからないので是非よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の問題について
「g(z)=1/(e^z+1)(z-1)^2を複素平面上で原点を中心とする一辺2R=4πN(Nは自然数)の正方形を反時計回りに回る積分経路Cで周回積分したものをN→∞とするとその値が0になることを示せ。」という問題で、N→∞をする前の答えは-2πi{e/(e+1)^2+Σk=1~N 1/(+-i(2k-1)π-1)^2}となるのですが、そのあとはどのようにすればよいのでしょうか。どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
複素関数f(z)を、 f(z)=(1-e^(2iz))/z^2 (zはC/{0}の元) とします。 (1)z=0におけるローラン展開 (2)R>0に対して、上半円弧CrをCr={z=Re^(iθ) : 0≦θ≦π}とし、 反時計回りに向きを入れるとき、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz という上記の二問についてですが、 (1)について e^zのテイラー展開にz=2izを代入し f(z)=(1/z^2){1-(1+z+(z^2)/2!+…} =-Σ[n=1→∞] (((2i)^n)z^(n-2))/n! と強引に計算しましたが、これで大丈夫なのでしょうか? (2)について z=Re^(iθ)を与式に直接代入して、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz =lim[R→∞] ∫[0,π] {1-e^(2iRe^(iθ))}/{Re^(iθ)} dθ として、ここから積分評価をしていきたいのですが、どのようにして考えていけばよいのでしょうか?とりあえず、被積分関数の絶対値を考えてみたのですが、うまくいきません。どなたかアドバイスをいただけませんか? 以上の二問ですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素関数の積分について教えてください。
複素関数で、次のような問題がだされました。 Cをx=cosyに沿って1から-1+πiに至る曲線とするとき、次の積分を求めよ。 ∫c ze^zdz よくわかってないので、次のような回答になってしまいました。 根拠はありません。 f(z)=ze^zは前平面で正則なので、f(z)の原始関数F(z)の原始関数によって ∫c (ze^z)dz=[ze^z](←πiから1まで)-[e^z](←πiから1からまで) =πie^πi-e-(e^πi-e) 以上です。 どなたか、正しい答えを教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の問題
複素積分の問題 次の複素積分の問題が分かりません. アドバイスいただけたら幸いです. 次の複素関数について以下の問に答えよ f(z) = z^-c / ( 1+z ) ただし、0<c<1 (1)複素平面上におけるf(z) の全ての特異点を求めよ (2)図中の閉曲線をγとする閉曲線γの矢印にそった向きの「周回積分」 ∫γ f(z)dzを求めよ γRは半径(R>1)の円し,γrは半径(r<1)の円を表す (3)z=R exp(iθ)またはr=R exp(iθ) (0<θ<2π)とおくことにより, 曲線及び曲線に沿った「周回積分」の絶対値 │∫γR f(z)dz│および、│∫γr f(z)dz│ がR→∞、r→0の極限において0に収束することを証明せよ (4)以上の結果を用い、次の「積分」 ∫(0→∞) x^-c / ( 1+x ) dx = π/ (sinπc) を証明せよ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の初歩的な質問
以下のような問題についてなのですが。。。 問 複素平面z上の単連結領域 -1<Imz<1 で、次の z=-1 から 1 までの 定積分を求めよ。 ∫[-1,1]1/(z-i)dz (被積分関数が 1/(z-i),積分範囲が[-1,1]) 僕は実数関数のノリで [log|z-i|]を原始関数としてやり答えが0になってしまったのですが 解答を見ると以下のようにやっています。 積分経路を z-i = √2*exp(iθ) (-3pi/4 <= θ <= -pi/4) としてあとは普通に積分。(答えは(pi*i)/2) つまり -1<Imz<1,-1<=Rez<=1 の範囲で被積分関数は 正則だからコーシーの積分定理より経路を変えても積分値は同じ、 -1から1へまっすぐ積分するのではなく扇形の弧を描くように 積分するということです(と思います)。 で、模範解答のやり方はそれはそれでよく納得できたのですが 僕が最初にやったやり方はなにが不味いのでしょうか。 そもそも原始関数がlog|z-i|がおかしいのでしょうか? この公式(∫f(x)'/f(x) dx = log|f(x)|)は複素数の範囲だと 成り立たない公式なのでしょうか? 複素関数の積分で被積分関数が特異点を持つときは exp(iθ)を絡ませるのが常套手段なのでしょうか? よろしくお願いいたします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分について
複素数cと実数ξとし、 f(z)=(e^(iξz))/(z-c) という複素関数を考えます。 lr={z=t ; -r<t<r} 、Cr+={z=re^(it) ; 0≦t≦π} 、 Cr-={z=re^(-it) ; 0≦t≦π} として、lrとCr+を合わせた曲線をγ+、lrとCr-を合わせた曲線をγ-とします。 ここで、 (1)Im c≠0、|c|<rとしたとき、f(z)のγ+、γ-上の積分 (2)Im c≠0、ξ≠0のとき、実軸上の積分、 ∫[-r,r] f(x)dx , r→∞ という問題なのですが、(1)については、 )Im c>0のとき γ-上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ-] f(z)dz=0。 また、γ+上の積分は、留数定理により、∫[γ+] f(z)dz=2πie^(iξc)。 )Im c<0のとき γ+上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ+] f(z)dz=0。 また、γ-上の積分は、留数定理により、∫[γ-] f(z)dz=2πie^(iξc)。 となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか? また、(2)については、 ∫[γ+] f(z)dz + ∫[γ-] f(z)dz =∫[Cr+] f(z)dz +∫[Cr-] f(z)dz+2∫[lr] f(x)dx と考えたのですが、左辺については、Im cの符号によらず4πie^(iξc)となると思いますが、右辺については、よくわからなくなってしまいました。どのようにして、考えていけばよいのでしょうか?どなたかお力添えよろしくお願いします。 読みにくい文章で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分(コーシーの積分定理)について質問です
zを複素数としする。コーシーの積分定理によれば「関数f(z)が領域Dで正則であるとして、領域D内の任意の閉曲線Cの内部が領域Dに含まれる場合、閉曲線Cに沿った関数f(z)の周回積分は0になる。」が成り立つと思います。 そこで次の問題を考えました。(zは複素数変数、aは実数の定数、iは虚数単位とする) 「原点を中心とする半径aの円を閉曲線Cとする。閉曲線Cに沿った、関数f(z)=1/(z-ai)の周回積分Iをを求める。」 閉曲線Cの内部で関数f(z)は正則だけれども、閉曲線Cは関数f(z)が正則でないz=aiの点を含んでいるのでコーシーの積分定理は利用できない。…(1) そこで、次のように積分を行うことにしました。閉曲線Cを複素数で表して、C:z=a*exp(iθ) (0≦θ≦2π) dz/dθ=ai*exp(iθ) よってI =∫f(z)dz =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ (積分範囲は0≦θ≦2π) ここで、[Ln(a*exp(iθ)-ai)](0≦θ≦2π)=0…(2) そこで質問です。 (1)は正しく、閉曲線の外周上に被積分関数が正則で無い部分があるなら、コーシーの積分定理は成立しないのでしょうか? (2)ln(z)は無限多価関数なので、どの複素関数の不定積分でもないと思ったので、Ln(z)を不定積分として用いたのですが、これは大丈夫なのでしょうか? ご回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数