- ベストアンサー
複素積分の問題
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
ヒント： f(z),1/(z-a)を|z|≦1でz=0の周りのローラン展開してみる。 f(z)は|z|<2で正則だから、Σ[n=0～∞]a(n)z^nとなる。(n<0の項はない) 1/(z-a)のローラン展開は|a|<1と|a|>1で異なる。 |a|>1では 1/(z-a)=(-1/a)*1/(a-z/a)=(-1/a){a+z/a+(z/a)^2+(z/a)^3+・・・} |a|<1では 1/(z-a)=(1/z)*1/(1-a/z)=(1/z){1+a/z+(a/z)^2+(a/z)^3+・・} となることから得られる。 この表式からRe(f(z))をあらわし、それと1/(z-a)を展開してものとの積の各項についてz=e^(iθ)として積分を行う。もちろん、0でない項は限られてくるのでその部分がどうなるかを考えてみると良い。
その他の回答 (3)
- nn_121126
- ベストアンサー率0% (0/1)
#3さん、ご指摘ありがとうございます。調べた所、#3さんの仰る通りRe(f(z)){f(z)~}は正則ではないようです。 http://ufcpp.net/study/analysis/regular.html 前の回答は間違いですね、質問者様には誤解を招く真似をしてすいませんでした。
- rnakamra
- ベストアンサー率59% (761/1282)
#2の人に質問 >f(z)は|z|<2において正則関数ということですからf(z)~も|z|<2において正則関数 これって本当ですか? コーシー・リーマンの関係式からz=x+iy,x,yは実数とすると ∂(Re(f(z))/∂x=∂(Im(f(z))/∂y ∂(Re(f(z))/∂y=-∂(Im(f(z))/∂x ですが、f(z)~でもこの関係が成り立つのでしょうか。
- nn_121126
- ベストアンサー率0% (0/1)
仰るとおりコーシーの積分公式を用います。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F f(z)は|z|<2において正則関数ということですからf(z)~も|z|<2において正則関数。つまりRe(f(z))=1/2(f(z)+f(z)~)も|z|<2において当然正則関数になりますね。よってRe(f(z))は|z|<=1において正則なので今回の問題はコーシーの積分公式を用いることができる形であることが分かります。 あとはaが積分区間で閉じられる閉区間C内(今回Cは単位円ですね)にあるかどうかで答えが決まります。 (i)|a|>1の時 aはC内に存在しないので、 1/(2πi)∫[|z|=1]Re(f(z))/(z-a)dz = 0, (ii)|a|<1の時 aはCに含まれるので、 1/(2πi)∫[|z|=1]Re(f(z))/(z-a)dz = Re(f(a)),
補足
どうもありがとうございました。
関連するQ&A
- 複素積分（コーシーの積分定理）について質問です
zを複素数としする。コーシーの積分定理によれば「関数f(z)が領域Dで正則であるとして、領域D内の任意の閉曲線Cの内部が領域Dに含まれる場合、閉曲線Cに沿った関数f(z)の周回積分は0になる。」が成り立つと思います。 そこで次の問題を考えました。（zは複素数変数、aは実数の定数、iは虚数単位とする） 「原点を中心とする半径aの円を閉曲線Cとする。閉曲線Cに沿った、関数f(z)=1/(z-ai)の周回積分Iをを求める。」 閉曲線Cの内部で関数f(z)は正則だけれども、閉曲線Cは関数f(z)が正則でないz=aiの点を含んでいるのでコーシーの積分定理は利用できない。…(1) そこで、次のように積分を行うことにしました。閉曲線Ｃを複素数で表して、C：z=a*exp(iθ) (0≦θ≦2π) dz/dθ=ai*exp(iθ) よってI =∫f(z)dz =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ (積分範囲は0≦θ≦2π) ここで、[Ln(a*exp(iθ)-ai)](0≦θ≦2π)=0…(2) そこで質問です。 (1)は正しく、閉曲線の外周上に被積分関数が正則で無い部分があるなら、コーシーの積分定理は成立しないのでしょうか？ (2)ln(z)は無限多価関数なので、どの複素関数の不定積分でもないと思ったので、Ln(z)を不定積分として用いたのですが、これは大丈夫なのでしょうか？ ご回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の問題です。
教科書の問題からの抜粋ですが、答えが省略されていて分かりません。私のやり方と答えで良いのでしょうか？教えて下さい。 問、(2z+1)/(z^2-1)を次のかく点を中心とし、半径1の正方向の円に沿って積分せよ。 (1), z=1/3 (2), z=i 答え、 (1), z=1/3を中心として半径1の正方向の円にそっての積分範囲は、C={ z｜-2/3≦ｚ≦4/3 } であり、 与式=∫c(2z+1)/(z^2-1)dz=∫c(2z+1)/(z+1)*1/(z-1)dz と書ける。 ここで(2z+1)/(z+1)は曲線Cの内部で正則なので、コーシーの積分公式より z=1 と置いて、 ∫c(2z+1)/(z+1)*1/(z-1)dz=2πi*(2*1+1)/1+1=3πi (2), z=iを中心として半径1の正方向の円に沿っての積分範囲は、C={ z｜0≦ｚ≦2i } であり、 与式=∫c(2z+1)/(z^2-1)dz=∫c(1/z)*(2z^2+z)/(z^2-1)dz と書ける。 ここで(2z^2+z)/(z^2-1)は曲線Cの内部で正則なので、コーシーの積分公式より z=0 と置いて、 ∫c(1/z)*(2z^2+z)/(z^2-1)dz=2πi*0=0 特に(2)は自信がありません。以上お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の初歩的な質問
以下のような問題についてなのですが。。。 問 複素平面z上の単連結領域 -1<Imz<1 で、次の z=-1 から 1 までの 定積分を求めよ。 ∫[-1,1]1/(z-i)dz （被積分関数が 1/(z-i),積分範囲が[-1,1]) 僕は実数関数のノリで [log|z-i|]を原始関数としてやり答えが0になってしまったのですが 解答を見ると以下のようにやっています。 積分経路を z-i = √2*exp(iθ) (-3pi/4 <= θ <= -pi/4) としてあとは普通に積分。(答えは(pi*i)/2） つまり -1<Imz<1,-1<=Rez<=1 の範囲で被積分関数は 正則だからコーシーの積分定理より経路を変えても積分値は同じ、 -1から1へまっすぐ積分するのではなく扇形の弧を描くように 積分するということです（と思います)。 で、模範解答のやり方はそれはそれでよく納得できたのですが 僕が最初にやったやり方はなにが不味いのでしょうか。 そもそも原始関数がlog|z-i|がおかしいのでしょうか？ この公式(∫f(x)'/f(x) dx = log|f(x)|）は複素数の範囲だと 成り立たない公式なのでしょうか？ 複素関数の積分で被積分関数が特異点を持つときは exp(iθ)を絡ませるのが常套手段なのでしょうか？ よろしくお願いいたします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分について
複素数cと実数ξとし、 f(z)=(e^(iξz))/(z-c) という複素関数を考えます。 lr={z=t ; -r<t<r} 、Cr+={z=re^(it) ; 0≦t≦π} 、 Cr-={z=re^(-it) ; 0≦t≦π} として、lrとCr+を合わせた曲線をγ+、lrとCr-を合わせた曲線をγ-とします。 ここで、 （１）Im c≠0、|c|<rとしたとき、f(z)のγ+、γ-上の積分 （２）Im c≠0、ξ≠0のとき、実軸上の積分、 ∫[-r,r] f(x)dx , r→∞ という問題なのですが、（１）については、 ）Im c>0のとき γ-上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ-] f(z)dz=0。 また、γ+上の積分は、留数定理により、∫[γ+] f(z)dz=2πie^(iξc)。 ）Im c<0のとき γ+上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ+] f(z)dz=0。 また、γ-上の積分は、留数定理により、∫[γ-] f(z)dz=2πie^(iξc)。 となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか？ また、（２）については、 ∫[γ+] f(z)dz + ∫[γ-] f(z)dz =∫[Cr+] f(z)dz +∫[Cr-] f(z)dz+2∫[lr] f(x)dx と考えたのですが、左辺については、Im cの符号によらず4πie^(iξc)となると思いますが、右辺については、よくわからなくなってしまいました。どのようにして、考えていけばよいのでしょうか？どなたかお力添えよろしくお願いします。 読みにくい文章で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の問題です。
複素積分の問題です。 複素平面上の３つの曲線 C: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?2π) D: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?4π) C1: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?π) C2: z(θ)= 1+1/2re^(-iθ) (0?θ?π) を考える。このとき、複素積分 ∫_c?1/(z-1)dz,4 ∫_D?1/(z-1)dz, ∫_c1?1/(z-1)dz, ∫_c2?1/(z-1)dz, ∫_c?1/zdz の値をそれぞれ求めよ。またその結果により、どのような定理が立つことが予想されるか。 全然わからないので是非よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分
複素関数f(z)を、 f(z)=(1-e^(2iz))/z^2 (zはC/{0}の元) とします。 （１）z=0におけるローラン展開 （２）R>0に対して、上半円弧CrをCr={z=Re^(iθ) : 0≦θ≦π}とし、 反時計回りに向きを入れるとき、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz という上記の二問についてですが、 （１）について e^zのテイラー展開にz=2izを代入し f(z)=(1/z^2){1-(1+z+(z^2)/2!+…} =-Σ[n=1→∞] (((2i)^n)z^(n-2))/n! と強引に計算しましたが、これで大丈夫なのでしょうか？ （２）について z=Re^(iθ)を与式に直接代入して、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz =lim[R→∞] ∫[0,π] {1-e^(2iRe^(iθ))}/{Re^(iθ)} dθ として、ここから積分評価をしていきたいのですが、どのようにして考えていけばよいのでしょうか？とりあえず、被積分関数の絶対値を考えてみたのですが、うまくいきません。どなたかアドバイスをいただけませんか？ 以上の二問ですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の解き方がわかりません
円周 |z - 1| = 1 上で反時計回りに複素積分を行い、 ∫( z^n / (z - 1)^n )dz の値を求めよという問題がわかりません。 |z - 1| = 1より、 C : z = 1 + exp(iθ) であり、線積分の公式 ∫{C} f(z)dz = ∫{a→b} f(z(t))z'(t) dt (ただし、{}は積分範囲) という公式を当てはめると、 ∫{π→0} ( (1 + exp(iθ))^n/(exp(iθ))^n ) × iexp(iθ) dθ と考えたのですが、この積分を解くことができません。それとも、それ以前で間違えているのでしょうか？ わかる人がいれば詳しく教えていただけるとありがたいです。回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分
お世話になります。 【問題】 次の関数を示された閉曲線Cに沿って積分せよ。 f(z) = 1 / ( z^(2) + 1 ) C : 原点中心、半径 r > 1 の円周 【解答】 f(z) = 1 / ( z^(2) + 1 )はこの円内で正則でない。 そこでf(z) = 1 / ( z^(2) + 1 )を部分分数展開すると… (解答続く…) 【質問】 関数が正則であるというのは領域内で微分可能であるということはわかっているのですが、なぜこの問題のf(z)は微分不可能なのかわかりません。またこの問題はコーシーの積分定理とどう関係あるのでしょうか。(定理はわかっています) よろしくお願いします。 ※参考URL※ http://next1.msi.sk.shibaurait.ac.jp/MULTIMEDIA/complex/node19.html (このページを使って勉強しています)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の初歩的な問題について質問です。
Cを中心1,半径1の円とし、向きは正の向きとします。このとき、経路Cに沿った３つの積分 (1) ∫ z^3/(z-3) dz (2) ∫ z/e^z dz (3) ∫ 1/(e^z +1) dz を求めたいのですが、手元に答えがないうえに、合っているか自信がないので正しい解法と解答を教えていただけたら幸いです↓ (1) は ∫ (z+3)+9/(z-3) dz と変形できて、 (z+3) と 1/(z-3) はCとその内部で正則なのでコーシーの定理より0。 (2) は z/e^z がCとその内部で正則なので0。 (3) は 1/(e^z +1) がCとその内部で正則なので0。 自分で解いたらこんな感じになりました。う～ん・・・？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ローラン展開を使うのは思いつきませんでした。 どうもありがとうございました。