複素積分の問題

質問

f(z)を|z|<2で正則な関数とする。
このとき、
1/(2πi)∫[|z|=1]Re(f(z))/(z-a)dz
を求めよ。(但し、|a|≠1,Re(f(z))はf(z)の実部,∫[|z|=1]dzは単位円に沿って積分するという意味)

Re(f(z))=1/2(f(z)+f(z)~)とコーシーの積分公式を使うような気がするの
ですが上手く求められませんでした。どなたかご解説お願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

ヒント：
f(z),1/(z-a)を|z|≦1でz=0の周りのローラン展開してみる。

f(z)は|z|<2で正則だから、Σ[n=0～∞]a(n)z^nとなる。(n<0の項はない)

1/(z-a)のローラン展開は|a|<1と|a|>1で異なる。
|a|>1では
1/(z-a)=(-1/a)*1/(a-z/a)=(-1/a){a+z/a+(z/a)^2+(z/a)^3+・・・}
|a|<1では
1/(z-a)=(1/z)*1/(1-a/z)=(1/z){1+a/z+(a/z)^2+(a/z)^3+・・}
となることから得られる。

この表式からRe(f(z))をあらわし、それと1/(z-a)を展開してものとの積の各項についてz=e^(iθ)として積分を行う。もちろん、0でない項は限られてくるのでその部分がどうなるかを考えてみると良い。

お礼

ローラン展開を使うのは思いつきませんでした。
どうもありがとうございました。

回答No.4

nn_121126

#3さん、ご指摘ありがとうございます。調べた所、#3さんの仰る通りRe(f(z)){f(z)~}は正則ではないようです。
http://ufcpp.net/study/analysis/regular.html
前の回答は間違いですね、質問者様には誤解を招く真似をしてすいませんでした。

回答No.3

rnakamra

#2の人に質問

>f(z)は|z|<2において正則関数ということですからf(z)~も|z|<2において正則関数

これって本当ですか?
コーシー・リーマンの関係式からz=x+iy,x,yは実数とすると
∂(Re(f(z))/∂x=∂(Im(f(z))/∂y
∂(Re(f(z))/∂y=-∂(Im(f(z))/∂x
ですが、f(z)~でもこの関係が成り立つのでしょうか。

回答No.2

nn_121126

仰るとおりコーシーの積分公式を用います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F
　f(z)は|z|<2において正則関数ということですからf(z)~も|z|<2において正則関数。つまりRe(f(z))=1/2(f(z)+f(z)~)も|z|<2において当然正則関数になりますね。よってRe(f(z))は|z|<=1において正則なので今回の問題はコーシーの積分公式を用いることができる形であることが分かります。
　あとはaが積分区間で閉じられる閉区間C内(今回Cは単位円ですね)にあるかどうかで答えが決まります。

(i)|a|>1の時
　　aはC内に存在しないので、
　　1/(2πi)∫[|z|=1]Re(f(z))/(z-a)dz = 0,
(ii)|a|<1の時
　　aはCに含まれるので、
　　1/(2πi)∫[|z|=1]Re(f(z))/(z-a)dz = Re(f(a)),

補足

どうもありがとうございました。