複素関数でのロピタルの定理

質問

「f(z),g(z)は複素変数の複素関数で、z=αを含む領域で正則。また、f(z)=0(z→α),g(z)=0(z→α)であるとする。このとき、f'(z)/g'(z) (z→α) が存在するならばf(z)/g(z) (z→α) = f'(z)/g'(z) (z→α) が成り立つか」
という問題を調べているのですが、なかなか見つかりません。要は実数値関数のロピタルの定理を複素関数に拡張できるかという問題なんですけど、どう証明すればいいのでしょうか。

回答No.2

adinat

♯1です、訂正。うっかりして下から二行目間違えていました。

分母分子を(z-α)^3で割って、O((z-α)^2))/(z-α)^3→0(z→α)に注意すれば示したいことが言えます。
↓
分母分子を(z-α)で割って、O((z-α)^2))/(z-α)→0(z→α)に注意すれば示したいことが言えます。

の間違いです。要するに残りの部分は(z-α)^2をすべて因数に持つので、(z-α)で1回割っても、z→αのとき0に収束する、ということです。

回答No.1

adinat

正則関数なので、わざわざロピタルの定理を拡張するまでもなくテーラー展開して終わりでしょう。

ここでは簡単のためにfもgもz=αで1位の零点を持つ場合について少しだけ書きますが、そのほかの場合も同様です。

f,gはz=αの近傍で正則だから、z→αのとき、
f(z)=f(α)+f'(α)(z-α)+O((z-α)^2)
g(z)=g(α)+g'(α)(z-α)+O((z-α)^2)
とできます。Oはランダウのラージ・オウ。仮定からf(α)=g(α)=0、f'(α)≠0、g'(α)≠0です。したがって、
f(z)/g(z)={f'(α)(z-α)+O((z-α)^2))}/{g'(α)(z-α)+O((z-α)^2))}
分母分子を(z-α)^3で割って、O((z-α)^2))/(z-α)^3→0(z→α)に注意すれば示したいことが言えます。

要は正則関数において、その比は、テーラー展開したときの最小次数の係数だけに依存するのです。