- 締切済み
複素関数について
自分は大学で複素関数を習っています。 コーシーの積分の定理でわからないことがあります。 Ｃの範囲が０～２πのときは∳f(z)=0となるのはわかるのですが、Ｃの範囲が０～πになったり、 0～π/2になったりするとまったくわかりません。 こういったときはどうやって積分の値を出せばよいのでしょうか？ 例などもあるとうれしいです。 よろしくお願いします。
- aid_jackass
- お礼率0% (0/1)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>Ｃの範囲が０～２πのときは∳f(z)=0となるのはわかるのですが なぜ分かるのですか？ Cが１つの正則な領域に含まれていなければ、つまりC内に正則でない特異点が含まれている場合は=0がゼロとは限りませんよ。 >Ｃの範囲が０～πになったり、 0～π/2になったりするとまったくわかりません。 こういったときはどうやって積分の値を出せばよいのでしょうか？ 参考URLの「コーシーの積分定理」の（特に定理などの）所をよく読んで見てください。 正則領域内では積分路はどうとっても構わないですね。角度で範囲を指定していませんね。 あくまでも積分経路Cの形状（単一閉路）については正則領域内ではどのように変形させて形状をどのように変形させても構わない、つまり積分しやすいようにCの形状を作ってやっても積分に影響がないということです。多くの場合積分路は積分のしやすさから、円弧（円の一部）、直線・線分（特に実軸や虚軸に沿った経路）に分割して、全体として単一閉路を作ります。この際、直線・線分部分の経路が積分のしやすさから実軸または虚軸に沿った（平行な）経路にとられるために、円弧が全円（０～2π）、半円（０～π）、４半分円（０～π/2）になることが多いだけです。円弧部分の積分路の中心角の範囲は積分閉路Cの全体形状をどう取るかで決まってきます。円弧経路は半径を固定して中心角θだけの積分にできますので、実軸・虚軸に沿った（軸上の、または軸に近接した平行直線上の）経路積分とあわせて多用されますね。 ■複素積分は「コーシーの積分定理」、「コーシーの積分公式」、「留数定理」の３つが全てです。これらを１セットで使いこなせるるようにしてください。 例題はネット上に沢山ありますので自身で検索してください。
関連するQ&A
- 複素積分（コーシーの積分定理）について質問です
zを複素数としする。コーシーの積分定理によれば「関数f(z)が領域Dで正則であるとして、領域D内の任意の閉曲線Cの内部が領域Dに含まれる場合、閉曲線Cに沿った関数f(z)の周回積分は0になる。」が成り立つと思います。 そこで次の問題を考えました。（zは複素数変数、aは実数の定数、iは虚数単位とする） 「原点を中心とする半径aの円を閉曲線Cとする。閉曲線Cに沿った、関数f(z)=1/(z-ai)の周回積分Iをを求める。」 閉曲線Cの内部で関数f(z)は正則だけれども、閉曲線Cは関数f(z)が正則でないz=aiの点を含んでいるのでコーシーの積分定理は利用できない。…(1) そこで、次のように積分を行うことにしました。閉曲線Ｃを複素数で表して、C：z=a*exp(iθ) (0≦θ≦2π) dz/dθ=ai*exp(iθ) よってI =∫f(z)dz =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ (積分範囲は0≦θ≦2π) ここで、[Ln(a*exp(iθ)-ai)](0≦θ≦2π)=0…(2) そこで質問です。 (1)は正しく、閉曲線の外周上に被積分関数が正則で無い部分があるなら、コーシーの積分定理は成立しないのでしょうか？ (2)ln(z)は無限多価関数なので、どの複素関数の不定積分でもないと思ったので、Ln(z)を不定積分として用いたのですが、これは大丈夫なのでしょうか？ ご回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数、f(z)=(z-(1/z))^7 について、以下の各問に答え
複素関数、f(z)=(z-(1/z))^7 について、以下の各問に答えよ (1)二項展開を用いて,F(z)の周りでローラン展開を求めよ。 (2)原点を中心とし半径1の反時計回りの円をcとする。この時複素積分∫c f(z)dzの値を求めよ (3)問(2)の変換結果z=e^(iθ),0<=θ<=2π を用いることにより定積分∫[0,2π]sin^8 θdθの値を求めよ。 ------------------------------------------------------ (1)は普通に二項定理を使えば解けましたが、後の(2),(3)が分かりません。 すみませんが、出来る限り詳しく解き方、考え方を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の初歩的な質問
以下のような問題についてなのですが。。。 問 複素平面z上の単連結領域 -1<Imz<1 で、次の z=-1 から 1 までの 定積分を求めよ。 ∫[-1,1]1/(z-i)dz （被積分関数が 1/(z-i),積分範囲が[-1,1]) 僕は実数関数のノリで [log|z-i|]を原始関数としてやり答えが0になってしまったのですが 解答を見ると以下のようにやっています。 積分経路を z-i = √2*exp(iθ) (-3pi/4 <= θ <= -pi/4) としてあとは普通に積分。(答えは(pi*i)/2） つまり -1<Imz<1,-1<=Rez<=1 の範囲で被積分関数は 正則だからコーシーの積分定理より経路を変えても積分値は同じ、 -1から1へまっすぐ積分するのではなく扇形の弧を描くように 積分するということです（と思います)。 で、模範解答のやり方はそれはそれでよく納得できたのですが 僕が最初にやったやり方はなにが不味いのでしょうか。 そもそも原始関数がlog|z-i|がおかしいのでしょうか？ この公式(∫f(x)'/f(x) dx = log|f(x)|）は複素数の範囲だと 成り立たない公式なのでしょうか？ 複素関数の積分で被積分関数が特異点を持つときは exp(iθ)を絡ませるのが常套手段なのでしょうか？ よろしくお願いいたします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 実関数のテーラー展開と複素関数のテーラー展開の違い
実関数のテーラー展開はテーラーの定理から、複素関数のテーラー展開はコーシーの積分公式とグルサの定理から導かれますが、複素関数のテーラー展開で、実関数のときのようなラグランジュの剰余項がないのはなぜですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数の問題です。
複素関数の問題です。 複素平面の上半平面をH={z∈C | Imz>0} H上の正則関数f(z)を線積分」 f(x) = int _[0,z] √ζ√(ζ-1)dζ で定義。 [0,z]は0を始点、zを終点とする線分であり、 平方根はH上でHを値にとる分枝。 【問題】 fによるHの像を求めよ。 方針すら見えず困っています…。 すいませんが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 次の積分をお願いします。複素変数関数の微分。コーシーの定理
次の積分をお願いします。複素変数関数の微分。コーシーの定理 下の画像の積分を求めてください。 全く分かりません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- リーマン面上の複素積分
複素関数論の勉強をしているのですが、 リーマン面上の複素積分がよくわかりません。 極座標表示(r,θ)で、 半直線θ=0 に沿った積分と、 半直線θ=2π に沿った積分は 別の値になるのでしょうか? ∫_c f(z) dz = -∫_(-c) f(z) dz という複素積分の性質と矛盾するように思えるのですが。 どなたか教えていただけるとうれしいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
お世話になります。 【問題】 次の関数を示された閉曲線Cに沿って積分せよ。 f(z) = 1 / ( z^(2) + 1 ) C : 原点中心、半径 r > 1 の円周 【解答】 f(z) = 1 / ( z^(2) + 1 )はこの円内で正則でない。 そこでf(z) = 1 / ( z^(2) + 1 )を部分分数展開すると… (解答続く…) 【質問】 関数が正則であるというのは領域内で微分可能であるということはわかっているのですが、なぜこの問題のf(z)は微分不可能なのかわかりません。またこの問題はコーシーの積分定理とどう関係あるのでしょうか。(定理はわかっています) よろしくお願いします。 ※参考URL※ http://next1.msi.sk.shibaurait.ac.jp/MULTIMEDIA/complex/node19.html (このページを使って勉強しています)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数(コーシーの積分定理)
複素関数の問題について質問です。 以下の問題について解いてみたのですが問題集の答えと合わずに苦しんでおります。 (1) I1=∫Cdz[1/z^2(z-1)] C:|z|=2 (2) I2=∫Cdz[1/z^3-1] C:(x^2)/2 + (y^2)/3=1 (z=x+iy) 申し訳ありませんが間違えをご指摘いただけませんでしょうか？ よろしくお願いしますm(_ _)m 解答は (1): 2πi (2): 2πi/3 となっています。 (1)部分分数に分解して I1=∫Cdz[-1/(z) -1/(z^2) + 1/(z-1)] ここでf(z)=1とおけばf'(z)=0よりコーシーの積分定理から I1=2πi[-f(0)-f'(0)+f(1)]=2πi[-1-0+1]=0 ■ (2)部分分数に分解して ω1=(-1+i√3)/2, ω2=(-1-i√3)/2 とおくと I2=∫Cdz[1/3{1/(z-1) +ω1/(z-ω1)+ω2/(1-ω2)] f(z)=1とおけば I2=2πi[f(1)+ω1*f(ω1)+ω2*f(ω2)] =2πi[1+ω1+ω2] =2πi[1-1] =0 ■
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素関数
聞きたいことが２つあります。 １つ目は複素関数w=u+ivについてです。 この関数がコーシーリーマンの関係式を満たすとき、w'=a+ibもコーシーリーマンの関係式を満たすことを示したいのです。 まず、wにコーシーリーマンの関係式を適用してからラプラスの関係式を適用して d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 =0 d^2v/dx^2 + d^2v/dy^2 =0 となります。 このあと、a=du/dx + du/dy b=dv/dx + dv/dy と定義します。 でコーシーリーマンの関係式を使ったのですがどうにも一致しません＾＾； aとbの定義が違うのでしょうか？ ２つ目は円柱周りの流れを表す複素速度ポテンシャルについてです。 f(z)=Az+B/z=φ+iψ f'(z)=u-iv と定義されていて、境界条件が設定されているのですが使い方がよくわかりません。 f(z)=φ+iψで、ラプラスが成り立つことは証明済みなのですが、これをうまく使うのでしょうか？ どうぞ、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
