• ベストアンサー

次の積分をお願いします。複素変数関数の微分。コーシーの定理

次の積分をお願いします。複素変数関数の微分。コーシーの定理 下の画像の積分を求めてください。 全く分かりません。よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

1/(z^2 - 2z) は、C で囲まれる領域 |z|≦1 の中に 1 個の特異点 z=0 を持ち、 z=0 は 1 位の極である。 よって、積分範囲内での 1/(z^2 - 2z) の留数は、 Res[z=0] 1/(z^2 - 2z) = lim[z→0] z/(z^2 - 2z) = -1/2。 留数定理により、 ∫[on C] dz/(z^2 - 2z) = (2πi) Res[z=0] 1/(z^2 - 2z) = -πi。 留数定理を表立って使わず、コーシーの積分定理で行くなら、 1/(z^2 - 2z) = (-1/2)/z + (1/2)/(z - 2) と部分分数分解して、 ∫[on C] dz/(z^2 - 2z) = (-1/2) ∫[on C] dz/z + (1/2) ∫[on C] dz/(z - 2)。 コーシーの定理から ∫[on C] dz/(z - 2) = 0 が出るから、 ∫[on C] dz/z = 2πi を知っていれば ok。 これは、exp z が周期 2πi を持つことと同じなのだった。

その他の回答 (1)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

留数定理でやれば? 基本的な考え方は、 コーシーの積分定理により、C に拘らなくても、 z=0 の近傍を小っさい単純閉曲線で周回すればいいから、 その範囲で 1/(z^2-2z) ≒ 1/(-2z)。 あとは、∫dz/z がどんなものか解ってればね。 その話を精密に書いたものが、いわゆる「留数定理」。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0

jen_gagaga
質問者

補足

すみませんが解いてもらえますか? さっぱり分かりません。

関連するQ&A

  • 複素積分(コーシーの積分定理)について質問です

    zを複素数としする。コーシーの積分定理によれば「関数f(z)が領域Dで正則であるとして、領域D内の任意の閉曲線Cの内部が領域Dに含まれる場合、閉曲線Cに沿った関数f(z)の周回積分は0になる。」が成り立つと思います。 そこで次の問題を考えました。(zは複素数変数、aは実数の定数、iは虚数単位とする) 「原点を中心とする半径aの円を閉曲線Cとする。閉曲線Cに沿った、関数f(z)=1/(z-ai)の周回積分Iをを求める。」 閉曲線Cの内部で関数f(z)は正則だけれども、閉曲線Cは関数f(z)が正則でないz=aiの点を含んでいるのでコーシーの積分定理は利用できない。…(1) そこで、次のように積分を行うことにしました。閉曲線Cを複素数で表して、C:z=a*exp(iθ) (0≦θ≦2π) dz/dθ=ai*exp(iθ) よってI =∫f(z)dz =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ (積分範囲は0≦θ≦2π) ここで、[Ln(a*exp(iθ)-ai)](0≦θ≦2π)=0…(2) そこで質問です。 (1)は正しく、閉曲線の外周上に被積分関数が正則で無い部分があるなら、コーシーの積分定理は成立しないのでしょうか? (2)ln(z)は無限多価関数なので、どの複素関数の不定積分でもないと思ったので、Ln(z)を不定積分として用いたのですが、これは大丈夫なのでしょうか? ご回答よろしくお願いします。

  • 複素関数について

    自分は大学で複素関数を習っています。 コーシーの積分の定理でわからないことがあります。 Cの範囲が0~2πのときは∳f(z)=0となるのはわかるのですが、Cの範囲が0~πになったり、 0~π/2になったりするとまったくわかりません。 こういったときはどうやって積分の値を出せばよいのでしょうか? 例などもあるとうれしいです。 よろしくお願いします。

  • 複素関数(コーシーの積分定理)

    複素関数の問題について質問です。 以下の問題について解いてみたのですが問題集の答えと合わずに苦しんでおります。 (1) I1=∫Cdz[1/z^2(z-1)] C:|z|=2 (2) I2=∫Cdz[1/z^3-1] C:(x^2)/2 + (y^2)/3=1 (z=x+iy) 申し訳ありませんが間違えをご指摘いただけませんでしょうか? よろしくお願いしますm(_ _)m 解答は (1): 2πi (2): 2πi/3 となっています。 (1)部分分数に分解して I1=∫Cdz[-1/(z) -1/(z^2) + 1/(z-1)] ここでf(z)=1とおけばf'(z)=0よりコーシーの積分定理から I1=2πi[-f(0)-f'(0)+f(1)]=2πi[-1-0+1]=0 ■ (2)部分分数に分解して ω1=(-1+i√3)/2, ω2=(-1-i√3)/2 とおくと I2=∫Cdz[1/3{1/(z-1) +ω1/(z-ω1)+ω2/(1-ω2)] f(z)=1とおけば I2=2πi[f(1)+ω1*f(ω1)+ω2*f(ω2)] =2πi[1+ω1+ω2] =2πi[1-1] =0      ■

  • 複素関数の微分不可能性について!

    閲覧ありがとうございます。 複素関数f(z)=Re zについて、どこでも微分不可能なことを示せ。 という問題なのですが、教科書に答えが載っておらずわかりません。 コーシーの方程式はまだ習っていないので、別の方法で解きたいのですが… どなたか、解答していただけるとありがたいです! よろしくお願いします。

  • 実関数のテーラー展開と複素関数のテーラー展開の違い

     実関数のテーラー展開はテーラーの定理から、複素関数のテーラー展開はコーシーの積分公式とグルサの定理から導かれますが、複素関数のテーラー展開で、実関数のときのようなラグランジュの剰余項がないのはなぜですか?

  • 線分長無限大でのコーシーの積分定理

    コーシーの積分定理で積分曲線の長さが有限の場合はわかりますが、 線分長が有限でない場合で、積分が収束する場合にもコーシーの積分 定理が成り立つのでしょうか?成り立つとするとどういう証明に なりますか。

  • コーシーの積分定理に関する問題

    現在コーシーの積分定理に関する問題をやっています。教科書や参考書・ウエブサイトなどを見ているのですが、あまり理解できません。もしよければ教えていただけないでしょうか。現在やっている問題は画像のほうに載せます。

  • 複素微分の存在→正則の証明

    複素関数fの複素微分が存在するなら、その関数は正則であるということを証明するプロセスは複素関数論の教科書にはすべて載っていると思います。 私の本では複素微分df/dzにおいてdz=h+ikとして、k=0でh→0としたものと、h=0としてk→0としたものが一致しなければならないということから正則であることを誘導しています。複素微分による2つの特殊な例を適用したように見えるのですが、これで演繹的に証明したことになるのでしょうか。 これに関連して、正則とはコーシーリーマンの関係が成立することであり、それが正則の定義と考えていいのでしょうか。つまり正則ならコーシーリーマンの関係式が成立することを証明せよ、というようなことはないと思っていいでしょうか。 なお、正則→複素微分の存在という証明が別途出てきますが、こちらは平均値の定理とコーシーリーマンの式で演繹的に証明できたような印象なのですが。

  • 複素積分を使わずに解ける

    複素関数の勉強をしていて、疑問に思ったことがあります。 次の定積分を求めよ、という問題です。 ∫(from 0 to ∞)exp(-x^2) cos2bx dx (bは定数) この問題は、複素平面上の長方形状の積分路に沿って積分して答えが出せたのですが、以下のようなやり方をしてみました。 まず、求める積分はbの関数とみなせるので、I(b)とおきます。 次にI(b)をbで微分します。被積分関数をbで偏微分し、部分積分を使うと、 dI(b)/db = -2bI(b) となります。これはbの微分方程式になっているので、これを解くと、 I(b) = Aexp(-b^2) (Aは定数) となります。元の式にb=0を代入すれば、 I(0) = sqrt(π)/2 となるので、 I(b) = sqrt(π)exp(-b^2)/2 という結果になります。 なんだか複素積分をするよりも簡単に答えが出せたのですが、このやり方でもよいのでしょうか。参考書にはこの方法が載っていなかったのですが。

  • 複素積分

    お世話になります。 【問題】 次の関数を示された閉曲線Cに沿って積分せよ。 f(z) = 1 / ( z^(2) + 1 ) C : 原点中心、半径 r > 1 の円周 【解答】 f(z) = 1 / ( z^(2) + 1 )はこの円内で正則でない。 そこでf(z) = 1 / ( z^(2) + 1 )を部分分数展開すると… (解答続く…) 【質問】 関数が正則であるというのは領域内で微分可能であるということはわかっているのですが、なぜこの問題のf(z)は微分不可能なのかわかりません。またこの問題はコーシーの積分定理とどう関係あるのでしょうか。(定理はわかっています) よろしくお願いします。 ※参考URL※ http://next1.msi.sk.shibaurait.ac.jp/MULTIMEDIA/complex/node19.html (このページを使って勉強しています)