次の積分をお願いします。複素変数関数の微分。コーシーの定理

質問

次の積分をお願いします。複素変数関数の微分。コーシーの定理

下の画像の積分を求めてください。

全く分かりません。よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

1/(z^2 - 2z) は、C で囲まれる領域 |z|≦1 の中に 1 個の特異点 z=0 を持ち、
z=0 は 1 位の極である。

よって、積分範囲内での 1/(z^2 - 2z) の留数は、
Res[z=0] 1/(z^2 - 2z) = lim[z→0] z/(z^2 - 2z) = -1/2。

留数定理により、
∫[on C] dz/(z^2 - 2z) = (2πi) Res[z=0] 1/(z^2 - 2z) = -πi。

留数定理を表立って使わず、コーシーの積分定理で行くなら、
1/(z^2 - 2z) = (-1/2)/z + (1/2)/(z - 2) と部分分数分解して、
∫[on C] dz/(z^2 - 2z) = (-1/2) ∫[on C] dz/z + (1/2) ∫[on C] dz/(z - 2)。

コーシーの定理から ∫[on C] dz/(z - 2) = 0 が出るから、
∫[on C] dz/z = 2πi を知っていれば ok。
これは、exp z が周期 2πi を持つことと同じなのだった。

回答No.1

alice_44

留数定理でやれば？

基本的な考え方は、
コーシーの積分定理により、C に拘らなくても、
z=0 の近傍を小っさい単純閉曲線で周回すればいいから、
その範囲で 1/(z^2-2z) ≒ 1/(-2z)。
あとは、∫dz/z がどんなものか解ってればね。

その話を精密に書いたものが、いわゆる「留数定理」。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0

補足

すみませんが解いてもらえますか？
さっぱり分かりません。