複素関数、f(z)=(z-(1/z))^7 について、以下の各問に答え

質問

複素関数、f(z)=(z-(1/z))^7 について、以下の各問に答えよ

(1)二項展開を用いて,F(z)の周りでローラン展開を求めよ。

(2)原点を中心とし半径1の反時計回りの円をcとする。この時複素積分∫c f(z)dzの値を求めよ

(3)問(2)の変換結果z=e^(iθ),0<=θ<=2π を用いることにより定積分∫[0,2π]sin^8 θdθの値を求めよ。

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(1)は普通に二項定理を使えば解けましたが、後の(2),(3)が分かりません。
すみませんが、出来る限り詳しく解き方、考え方を教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

>解き方、考え方を教えてください。
A#1で考え方を教えましたが応答無しですね？

(1)
(1)のおやりになった解答を補足に書いて頂かないと解決できませんよ。
補足がありません。全くやってないのにやたっと書いたのでしょうか？

こちらも忙しく何日も付き合っておられませんので解答の要約(殆ど丸解答)を書いておきます。

f(z)=(z-(1/z))^7
2項定理で展開
=Σ[n=0,7] ((-1)^n)*(7Cn) z^(7-n)*(1/z)^n
=z^7-7z^5+ … -35z +35/z- … +7/z^5 -1/z^7

(2)(1)から
Res(f(z),z=0)=35
留数定理より
∫c f(z)dz=2πi*35=70πi

(3)
A#1の(3)の続き

I=∫[0,2π]sin^8 θdθ={1/(i256)}∫c (1/z){z-(1/z)}^8 dz
ここで
(1/z){z-(1/z)}^8=z^7-8*z^5+28*z^3-56*z+70/z-56/z^3+28/z^5-8/z^7+1/z^9
Res((1/z){z-(1/z)}^8,z=0)=70
留数定理より
I=∫c f(z)dz=2πi*{1/(i256)}*70=35π/64

お礼

すみません外出しており返答出来ませんでした。

(1)はお答えして頂いた通り、二項定理により
z^7-7z^5+21z^3-35z-1/z^7+7/z^5-21/z^3+35/z-35z
になり、z=0の周りでのローラン展開の形になりました。

(2),(3)は未だ理解出来ていないので、お答えいただきました解答と、参考書を照らし合わせ理解しようと思います。
考え方すら分からない状態だったので、足がかりが出来非常に助かりました。ありがとうございます

回答No.1

info22_

(2)
>(1)は普通に二項定理を使えば解けましたが、後の(2),(3)が分かりません。
(2)は(1)の結果を使います。なので(1)が出来たのなら書いて頂かないと(2)の回答が出来ません。補足に(1)のローラン展開を書いて頂けませんか？
ローラン展開から留数を求め留数定理を使えば積分が求まるでしょう。

(3)
dz=ie^(iθ)dθ=izdθ,dθ=dz/(iz)
sin^8θdθ=[{e^(iθ)-e^(-iθ)}/(2i)]^8*dθ
=(1/256){z-(1/z)}^8*{1/(iz)}dz
={1/(i256)}(1/z){z-(1/z)}^8 dz

∫[0,2π]sin^8 θdθ={1/(i256)}∫c (1/z){z-(1/z)}^8 dz
後は(1/z){z-(1/z)}^8をローラン展開して留数を求め留数定理を使えば積分が求まるでしょう。

[大切なこと]ローラン展開と留数の関係や留数定理は複素解析のどんな教科書や参考書にも載っている基礎的なことです。まず復習してみてください。
分からなければやったことを補足に書いて質問して下さい。

お礼

すみません先程まで外出しており返答出来ませんでした。