複素解析 除去可能特異点

質問

複素解析学を勉強しているのですが、「ある関数f(x)の特異点は除去可能特異点であることを示せ。」
という問題の解き方がわからないのですが、どうわかりません。教えていただけないでしょうか？

普通に特異点を求めたあと、何かの定理や、やり方を使って除去可能な特異点であると証明するのですか？

また、今解いている似たような問題で、

f(z)=z/(e^z-1)とする。点0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。
答えが、lim(z→0)z/(e^z-1)=lim(z→0)1/(e^z)=1したがって点0は除去可能特異点である。

もうひとつが、関数f(z)=(1-cosz)/z (|z|>0) を指定された円循環領域でローラン展開し、除去可能特異点であることを示せ。

これの解き方はまた別のやりかたで示すのでしょうか？

回答No.1

foomufoomu

詳しい方法は忘れましたが、特異点というのは、計算上 「÷０」　などが出てくるため、普通では答えを求められない点のことです。
で、除去可能特異点とは、「普通では答えを求められないはずなのだけれど、特別な方法で答えを求めることができる」点のことを言います。

したがって、1つ目の例では、z=0とき分母が０になるため、普通なら答えが出ないところを
＞答えが、lim(z→0)z/(e^z-1)=lim(z→0)1/(e^z)=1
と、答えを求めることができたため（分子分母をZで割る?)
＞したがって点0は除去可能特異点である。
となっているわけです。

2つ目は、ローラン展開とかもう忘れてしまったので、がんばって解いてください。