除去できる特異点を持つ関数について

質問

大学で物理を学んでいる者です。
どうしても分からないことがあるので、質問させてください。
f(z)=z/{exp(z)-1}
は、z=0が除去可能な特異点になっているのでz→0でf(0)を定義しなおすことによって、f(z)を連続な関数と見なすことができることは分かるのですが、それではこのf(z)はz=0のまわりでテーラー展開できるのでしょうか？もしできるのなら、どうかやり方を教えてください。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

ローラン展開ですね。ローラン展開は、ザックリ言って特異点周りのテーラー展開モドキ（←というのは、マイナスの冪まで取り込むから）と理解すればよいと思います。ところで特異点が除去可能なタイプであればマイナスの冪項の係数はすべて0になり、普通のテーラー展開の形となります（←ご質問のケースはこのタイプですね）。この辺の詳しいことは参考URLを参照ください。
ご質問の答えはすでにsiegmundさんがお答えになっておられますので、特に付け加えることはなにもありません(笑い)。ご提案の(B)の方法は大変見通しがいい方法ですね。ということで、折角ですから(B)で計算した最初の4項までの結果をご参考までに載せておきます。
f(z)=z/{exp(z)-1}=1-z/2+(z^2)/12-(z^4)/720+・・・・
このzの展開係数はベルヌーイ数と呼ばれています。

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/090cmp.html

お礼

計算の結果まで載せていただいて、ありがとうございます。お礼がとてもおそくなってすみません。まだまだ問題に不慣れのようで、なかなか解析の勉強がうまく進みません。。もう少しがんばらなきゃですね・・。ありがとうございました☆

回答No.5

siegmund

siegmund です．

grothendieck さん：
> 私はみなさん当然こうして計算していると思っていました。
> こうするとコンピュータプログラム化も容易だし

いや，grothendieck さんの方法も知らないわけじゃなくて(^^;)，
時と場合により使い分けています．
ちょうど授業資料を作っていて似たようなことを書いていたので，
なんとなくNo.2(B)の方法だけ書きました．

私の授業の演習問題では，よく
(1) 直接微分してテーラー展開
(2) 実際に割り算する
(3) No.2(B)の方法
(4) No.4で grothendieck さんご指摘の方法
と４つやらせたりしています．

どうも言い訳がましくなってますね～(^^;)．

回答No.4

grothendieck

私はこのような場合にテイラー展開を求めるのは次の様にしています。A1, A2, A3…が与えられているとき

　1/(1+ A1x + A2 x^2 + A3 x^3 +…)
= 1+ B1x + B2 x^2 + B3 x^3 +…

の係数B1, B2, B3…は分母を払って次数の等しい項を比較することにより

　B1 + A1 =0
　B2 + B1*A1 + A2 =0
　B3 + B2*A1 + B1*A2 + A3 =0
…………

あるいは
　B1 = - A1
　B2 = - (B1*A1 + A2)
　B3 = - (B2*A1 + B1*A2 + A3 )
…………

私はみなさん当然こうして計算していると思っていました。こうするとコンピュータプログラム化も容易だし、Pade近似も同様に計算されます。f(z)=z/{exp(z)-1}はz=2nπi (n はゼロでない整数)で極を持つのでPade近似の方が良いかもしれません。

お礼

このやり方は初めて知りました！すごいですね。教えてくださってありがとうございます。お礼が遅くなってすみません。参考にさせていただきます！

回答No.3

siegmund

siegmund です．
すみません，馬鹿な間違いをしました．
最初のパラグラフは以下のように訂正します．

正則関数同士の四則の結果は正則関数です(ゼロ割りになる場合を除く)．
z も exp(z) も 1 も複素全平面で正則ですから，
問題の f(z) が正則でなくなる点の候補は分母がゼロになる exp(z) = 1 です．
z=0 のところは f(0) の定義し直しで無事に正則です．
他に exp(z) = 1 となる点は z=2nπi (n はゼロでない整数)ですが，
それらの点では f(z) は１位の極です．
したがって，f(z) は z=0 のまわりでテーラー展開でき，
収束半径は 2π です．

正則とか何とか言っていながら，なんとなく虚軸上の極を忘れていました．
いかん，いかん．
他のところは大丈夫と思います．

KENZOU さんのご回答拝見しました．
> ご提案の(B)の方法は大変見通しがいい方法ですね。
そうですね．
これだと，z の項は一瞬で，
z^2 まででしたら割合簡単に暗算でできますから．
z^4 も頑張れば暗算でできますかね？

> このzの展開係数はベルヌーイ数と呼ばれています。
正確に言うと，展開係数はベルヌーイ数そのものではなくて
f(z) = 1 - z/2 + Σ{n=1 ->∞} {B_n z^(2n) / (2n)!}
です．
岩波数学公式集IIのp.137で確認しました．
B_1 = 1/6
B_2 = 1/30
B_3 = 1/42
B_4 = 1/30
.......

お礼

アドバイスありがとうございます。お礼が大変遅くなってごめんなさい。勉強不足で解析に不慣れなので理解にも時間がかかりそうですが、ご意見を参考にして勉強してみます！

回答No.1

siegmund

> それではこのf(z)はz=0のまわりでテーラー展開できるのでしょうか

正則関数同士の四則の結果は正則関数です(ゼロ割りになる場合を除く)．
z も exp(z) も 1 も複素全平面で正則ですから，
問題の f(z) (z=0 を定義し直したもの)も複素全平面で正則です．
したがって，z=0 のまわりでテーラー展開でき，
収束半径は無限大です．

具体的には以下の通り．

(A) 普通にテーラー展開の公式を使ってできます．

(B) こういう方法もあります．
(1)　　exp(z) = 1 + z + (z^2/2!) + (z^3/3!) + ・・・
ですから，
(2)　　exp(z) - 1 = z{1 + g(z)}
ただし，
(3)　　g(z) = z/2! + z^2/3! + ・・・
したがって
(4)　　f(z) = 1/{1+g(z)}
　　　　　　= １ - g(z) + {g(z)}^2 - {g(z)}^3 + ・・・
で，どこから z の何次の項が出てくるか注意しながら，
必要なところまで拾えばＯＫです．
ちょっと慣れると，この類の方法は便利です．

f(z) のテーラー展開の一般項の係数を n で表現するのはちょっと面倒です．
exp(z) の展開のときのような簡単な形にはなりません．
ベルヌーイ数を用いて表現できることが知られています．