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孤立特異点におけるローラン展開
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>因みに答えは(1) 2/(z+1)、(2) 1/z^3-1/3zになるそうです。 これらの答えは間違いです。 (1) (z-1)/{z(z+1)} (孤立特異点 z=-1) (z-1)/{z(z+1)}=z/{z(z+1)}-1/{z(z+1)} =1/(z+1) -{1/z -1/(z+1)} =2/(z+1) -1/z ...(☆) と変形できるから「1/z」を孤立特異点 z=-1の周りにローラン展開すればいいでしょう。 z+1=uとおけば、孤立特異点 u=0の周りのローラン展開になります。これはu=0におけるテーラー展開なので 1/z=1/(u-1)=-1-u-u^2-u^3- ... -u^n+ ... =-1-(z+1)-(z+1)^2-(z+1)^3- ...-(z+1)^n - ... これを(☆)の式に代入するだけです。 (2) cos(z)/{z^2・sin(z)} (孤立特異点 z=0) cos(z)/{z^2・sin(z)}=(1/z^3){z/tan(z)} ...(◆) なので「z/tan(z)」のローラン展開（テーラー展開）を求めて(1/z^3)を掛ければいいでしょう。 z/tan(z)=1-(1/3)z^2 -(1/45)z^4-(2/945)z^6)-(1/4725)z^8 -... (◆)の式に代入 cos(z)/{z^2・sin(z)} =z^(-3)-(1/3)z^(-1)-(1/45)z-(2/945)z^3-(1/4725)z^5 - ...
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