デルタ関数に関する証明

質問

ガウス型関数によるδ関数表示：
　　√（１/２πε）exp(-x^2/2ε)
のε→0の極限をとったものがδ(x)
となることを用いて、
　δ(ｆ(x))＝Σ　δ(x－α)/｜ｆ´（α）｜
となることを示すのですがそれがよく分かりません。
ここでαはｆ(x)＝0を満たすゼロ点で
　　　Σはそのαがあるだけ足し合わせているものです。
見にくくてすいません。
テイラー展開か何かを使うらしいのです。
よろしくお願いします。

回答No.2

YHU00444

>その次の項でヒントその2を用いて証明が出来そうですが
>ｆ´´（α）(x-α）^2/2!以降の項が消えません。

「消えません」って、あなたご自分で質問に書いてらっしゃるじゃないですか。
>（１/２πε）exp(-x^2/2ε)の『ε→0の極限をとったもの』がδ(x)
>なることを用いて、
って。（だから国語力は大事なんだよねぇ……）

とりあえず、「ｎが偶数：ε^(ｎ/2)√（２πε）」はオーダーとしては合っているので、これがε→0の極限をとったときにどうなるかを考えてみてください。

※ちなみにヒント1の積分は、ガンマ関数を使って(2ε)^(m+1/2)*Γ(m+1/2)ですから（ただしmはn=2mとなる非負の整数）、(2m-1)*…*3*1*ε^m√（２πε）となります。（もっともεのオーダーが解れば良い話ではある）

回答No.1

YHU00444

ヒントその１：h(x)*exp(-x^2/2ε)の積分[-∞,∞]を、h(x)=x^n（nは0および自然数）について解いてみましょう。
その２：δ(ax)=δ(x)/|a|となることを示してください。
その３：ｆ(x)をαのまわりでテーラー展開するとどのように書けるでしょうか？

p.s.「現代工学のためのデルタ関数入門」は親しみやすいのでお勧め

補足

さっそくの回答ありがとうございます。
ヒントを元にやってみたのですが、
その3での展開をすると
ｆ(x)＝ｆ（α）＋ｆ´（α）(x-α）+ｆ´´（α）(x-α）^2/2!+・・・・
という風になり、ｆ（α）＝0、
その次の項でヒントその2を用いて証明が出来そうですが
ｆ´´（α）(x-α）^2/2!以降の項が消えません。
ヒントその1はどう使うのか分かりません。これは
ｎが奇数：0
ｎが偶数：ε^(ｎ/2)√（２πε）
でいいですか??