真性特異点と極

質問

（zを複素数として）

(1)z^4+2/z^2(z-1) (2)sinh(z)/z^3

の極と真性特異点をすべて書け。と言う問題なのですが、

(1)は、z=0で2位の極とz=1で1位の極をもつ　と言う回答でいいのでしょうか。　
　（z→0.1に近づければ分母は０に収束するので）

(2)これはsinh(z)を級数に展開して、z^3でわり、主要部がどのような形であるか調べる必要があると思うのですが、
sinh(z)={e^z-e^(-z)}/2　ですので、
0の周りでテイラー展開して　e^z=1+z+(z^2)/2!+(z^3)/3!+(z^4)/4!・・・・
e^(-z)=1-z+(z^2)/2!-(z^3)/3!+(z^4)/4!・・・・・
となり代入してもうまく真性特異点が求められません。

どこかまちがっているのでしょうか。また真性特異点はどんな値になるのでしょうか？

回答よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba

複素関数 f(z) の無限遠点への拡張というのは
g(z)=f(1/z)という関数を考えて
この関数の z=0 での挙動を考えるということです．
このあたりの話は，
リーマン球面とかリーマン面の話を習えばでてくるかもしれませんし，
講義では割愛されるかもしれません．
＃私が念頭においているのは，
＃いわゆる「アールフォルスの教科書」と
＃呼ばれている有名な関数論の教科書なんですが・・・
＃最近はこういう教科書は使われないのかなぁ。。いい本なのに

これで無限遠点での挙動の見方はお分かりいただけますか？

あと e^{-z}の展開はあってますよ．

それと「主要部」という言葉に誤解があるかもしれません．
関数を展開するときには
かならず「展開の中心」が存在します．
そして「主要部」というのは
あくまでも展開したときの話ですので，
「どこそこの点で展開したときの主要部」という意味です．
したがって，例えば
z=0で展開したものの主要部をもって
z=0以外の点での挙動を考えることはできません．

回答No.1

kabaokaba

>(1)は、z=0で2位の極とz=1で1位の極をもつ　と言う回答でいいのでしょうか。　
>　（z→0.1に近づければ分母は０に収束するので）

結論はよいのですが，理由付けは間違ってます．
分母が0に収束だけでは「極」であることだけで
極の位数までは出てきません
あとで主要部とおっしゃってるのでご承知かとおもいますけど

>(2)これはsinh(z)を級数に展開して、z^3でわり、主要部がどのような形であるか調べる必要があると思うのですが

その通りですので，
真性特異点は存在しません．
もしかして，他にも問題があって，
その中に sin(1/z)とか，e^{1/z} があるのかもしれません．
これらは真性特異点を持ちます．

また，Cではなく，無限遠点まで考えれば
(1)も(2)も真性特異点はありますが。。。

>また真性特異点はどんな値になるのでしょうか？
真性特異点「での」値ということでしたら
「何にもでもなる」という感じです．
Weierstrassの定理
「真性特異点の近傍では任意の値を取ることができる」
というのがあります．

お礼

回答ありがとうございます。
さらに質問させてください。
（１）（２）ともに無限遠点まで拡張した場合、両方とも主要部が有限項ですので、（１）無限遠点は2位と1位の極となる？
（２）？

無限遠点では真性特異点はどのように求めたらいいのでしょうか・・。　

そもそもe(-z)=1-z+(z^2)/2!-(z^3)/3!+(z^4)/4!・・・・・
ってあってますか？

よろしくお願いします。