解析接続 (テーラ展開，収束半径)

質問

関数 f(z) = 1/1+z について
(1) z = 0 を中心にテーラ展開して収束半径を求める．
(2) z = i を中心にテーラ展開して収束半径を求める．
問題なのですが・・・

(1)はテーラ展開して
f(z) = 1 - z + z^2 - 4/3!z^3 + ・・・
となるとこまでは理解できるのですが，ここから収束半径を求める方法がわかりません．

(2)はテーラ展開で分母が2乗，4乗となったとき z = i を代入したあと展開するべきなのでしょうか・・・

よろしくお願いします．

回答No.2

alkantala

> |i-1| = √2　として
> |i-1/2| = √2/2
で正解です。ただし
lim_{n→∞}|c_{n+1}/c_n| = lim_{n→∞}|i-1/2|
があっていればですが。

一般にz,wが実数であっても複素数であっても
|z+w| と |z|+|w| は異なりますから
> |i-1/2| = |i/2| + |-1/2|
としてはいけません。

お礼

なるほどよく解りました．
ありがとうございます．

回答No.1

alkantala

一般にベキ級数 Σ_{n=1}^∞ c_n (z-a)^n の収束半径は
lim_{n→∞}|c_{n+1}/c_n| が存在するならその逆数で与えられます。
(1)の場合はこれで十分でしょう。
参考までに、もっと一般の場合の収束半径は
Cauchy-Hadamardの定理により
lim-sup_{n→∞}|c_n|^{1/n}
の逆数で与えられます。

(2)では
1/(1+z)=1/(1+i+(z-i))={1/(1+i)}×{1/(1+(z-i)/(1+i))}
と変形して(z-i)/(1+i)を(1)のｚだと思えば(1)と同じです。
z=aを中心としたTaylor展開には
z=(z-a)+a
と変形して、(z-a)をひと塊として考えるのがよろしいかと。
収束半径は上の公式で求めると良いでしょう。

補足

アドバイスありがとうございます．
(1)は何とか解けました・・・
（収束半径 R = 1 になりました）
(2)なのですが収束半径を求める際
lim_{n→∞}|c_{n+1}/c_n| = lim_{n→∞}|i-1/2|
となるのですが，この場合
|i-1/2| = |i/2| + |-1/2| = 1/2+1/2 = 1
としても良いのでしょうか？
それとも
|i-1| = √2　として
|i-1/2| = √2/2
とするべきなのでしょうか？