複素数平面

質問

点zが原点を中心とする半径rの円上を動く時、w=z+1/z (a>0)を満たす点wが描く図形について考える
I、a=rのとき、点wはどのような図形を描くか?
Ⅱ、w=x+yℹ︎(x,yは実数)とおく。a<rのとき、点wが描く図形の式。x,yを用いて表せ。
Ⅱがよくわかりません！

回答No.3

maskoto

訂正です
(わざわざ展開する必要なかったですね…)

x²/(r²+2+1/r²)+y²/(r²−2+1/r²)＝1
↔x²/(r+1/r)²+y²/(r−1/r)²＝1

回答No.2

oumekaidou

aが何にも関与してない気がするのですが？

回答No.1

maskoto

z＝rcosθ+irsinθとおくと
1/z＝(│1│/│z│){cos(0−θ)+isin(0−θ)}　
＝(1/r)(cosθ−isinθ)
より
W＝(r+1/r)cosθ+i(r−1/r)sinθ
このことから
x＝(r+1/r)cosθ
y＝i(r−1/r)sinθ

x²＝(r²+2+1/r²)cos²θ
y²＝(r²−2+1/r²)sin²θ

r²−2+1/r²≠0↔r≠1ならば
x²/(r²+2+1/r²)＝cos²θ
y²/(r²−2+1/r²)＝sin²θ

辺々足して
x²/(r²+2+1/r²)+y²/(r²−2+1/r²)＝1