複素数平面

質問

点ｚが点ｉを中心とする半径１の円上を動く時ω＝(ｚ＋ｉ)／ｚ＋１で表される点ωはどのような図形をかくか。

ω＝(ｚ＋ｉ)／ｚ＋１を変形してｚ＝(－ω＋ｉ)／ω－１。点ｚが点ｉを中心とする半径１の円は｜ｚ－ｉ｜＝１と表せるので、ｚ＝(－ω＋ｉ)／ω－１を代入して
｜(－ω＋ｉ／ω－１)－１｜＝１となる。ここから変形していって、｜１＋ｉ｜｜ω－(２ｉ／１＋ｉ)｜＝｜ω－１｜までもっていったのですが、この先の計算が分かりません。ここまでの計算も合っているのか定かではありません。どなたか教えて下さい。

回答No.2

coji314

syu2000さんの回答で

２｜ω－i｜＝｜ω－１｜だから、（１，０）（０、i）を２：１に内分する点を通って傾きが１の直線になるのではないでしょうか？

というところの最後が違うと思います。

２｜ω－i｜＝｜ω－１｜の軌跡は
（１，０）（０、i）を２：１に内分する点と２：１に外分する点を直径とする円（アポロニウスの円）です。
言いかえると中心が点－１／３＋２／３ｉで半径が２√２／３の円ということになります。

回答No.1

syu2000

たぶん｜(－ω＋ｉ／ω－１)－１｜＝１じゃなくて|(－ω＋i）／（ω－１）－i｜＝１では？
それなら絶対値記号の中を通分して２｜(i－ω）／（ω－１）｜＝１になって結局２｜ω－i｜＝｜ω－１｜だから、（１，０）（０、i）を２：１に内分する点を通って傾きが１の直線になるのではないでしょうか？

補足

答えは中心(１＋２ｉ)、半径√２の円となっています。