複素数平面

質問

２つの複素数α＝－√３＋ｉ、β＝１－ｉがあり複素数平面上に円Ｃ：｜ｚ－αβ｜＝ｒ(０＜ｒ≦２√２)がある。偏角は０°以上３６０°未満。円Ｃ上を点ｚが動く時、ｚの偏角の最大値と最小値の差が１２０°であるとする。ｒの値を求めよ。また、このとき偏角が最小となるｚをａ＋ｂⅰの形で表せ。

α＝２(ＣＯＳ３０°＋ｉＳＩＮ３０°）　β＝√２(ＣＯＳ３１５°＋ｉＳＩＮ３１５°)と極形式で表した後はどのように考えればいいのですか。どなたか教えて下さい。

回答No.6

springside · ベストアンサー

まず、なぜ極形式で表す必要があるのでしょうか。
解答の見通しもなく、単に知っている公式を使ってみた．．．というだけでは問題は解けません。
なお、α=2(cos150°+i sin150°）ですね。

αβ=(1-√3)+i(1+√3)なので、zは、点（1-√3, 1+√3)を中心とする半径rの円周（円C）の上を動く。（以下は図を書きながら考えてください。）
原点とαβとの距離は2√2でであり、また、0＜r≦2√2なので、zの偏角が最小及び最大になるのは、原点から円Cに接線を引いたときの接点の場合である（接点は２つあるが、一方が最小になる場合、もう一方が最大になる場合）。

今、原点をO、円の中心をC、接点をA,B（ただし、Aは左側の接点、Bは右側の接点）とすると、題意より、∠AOB=120°である。△OACと△OBCは合同だから、∠AOC=∠BOC=60°となる。すると、△OBCは、角が30°、60°、90°の直角三角形になり、OC=2√2なので、BC=OC×{(√3)/2}=√6であり、これがrである。

このときのz（つまり点B）が偏角が最小になる場合であるが、OB=√2であり、∠COB=60°なので、OBはOCを原点を中心として-60°回転させ、長さを1/2にしたものである。
よって、
OB=OC×(1/2){cos(-60°)+i sin(-60°)}
={(1-√3)+i(1+√3)}{(1/2)+i(-√3)/2}
=1+i・・・答

回答No.7

k1200

αの値がそもそも間違ってたのね(;
問題をちゃんと読まずに回答してました。
申し訳ないです。

6さんが正解だと思います。

お礼

まとめてお礼をさせて下さい。
αの値を間違っていた為、皆さんに大変ご迷惑をかけてしまいました。すみませんでした。どの方も丁寧に解説してくださったので、答えを求める事が出来ました。毎回基本的な質問ばかりしていますが、皆さんが回答して下さるのでとても嬉しいです。
皆さん、回答有難うございました。

回答No.5

noname#6715

#1,#2です
ごめんなさい
>α＝２(ＣＯＳ３０°＋ｉＳＩＮ３０°）
に騙されました(T△T)

ただしくは#3さんので正解かと。

回答No.4

k1200

回答はもう別の方がなさっているので、
問題についてちょっと思ったことを・・・

この問題ってrの値が2√2sin15°より小さいときは
偏角の最大値と最小値の差が～度って使えるけど、
実際にrの値求めると、
円CはX軸と重なるような値だから、
偏角の最大値はなし、
最小値は0度ってことになると思う。

問題作成者はちゃんとX軸のこと考慮しろよ！、
と思いました。

回答No.3

noname#24477

問題が間違っていなければ
α＝２(cos150°＋isin150°)　で
αβ＝２√２(cos465°＋isin465°)＝２√２(cos105°＋isin105°)
が中心となります。
偏角の差が１２０°ということは前後６０°ずつ
ということで４５°から１６５°の直線の間にあるということです。
円を描いて中心と原点および接点を結べば
６０°，３０°，９０°の直角三角形ですから
（しかも原点から中心までの距離は２√２）
半径や偏角最小のｚ（接点）の位置はすぐ求まるでしょう。

回答No.2

noname#6715

#1です。
abって問題に使われてたから使ってはいけなかった(汗)
まぁいいや(爆)

ちょっと見方が違った。
四角形ですが
三角形obcと三角形oacが合同(三辺等しい)であるから
角boc=角aoc=1/2角boa=60°
よってこの二つの合同な三角形は
90°,60°,30°の角を持つ。

ところで
oc=2√2であったから
偏角の小さい方aの示す値は
偏角345°-30=315
原点からの距離は2√2cos30°=√6
よって
z=√6(cos315°+isin315°)
=√3-√3i

回答No.1

noname#6715

αβ=2√2(cos345°+isin345°)
でこれを図に描きます。
｜ｚ－αβ｜＝ｒは
αβ中心で半径rの円であるわけですが

さて、この円上のzについて、
偏角が最大,最小になるzはどこでしょう。

描けばすぐにわかることですが
この円に二本の接線を引いたときの
接点がそれぞれ最大値と最小値

あとは四角形の問題。

原点をo,接点をa,b,円Cの中心をcすると
角oac,角oabは90°
角aobは120°
よってbcaは60°だから・・・・
ここまでくればさほど苦労はしないでしょう