複素数と図形

質問

複素数平面上に三点A(z),B(z^2)C(z^3)を取り、z=r(cosθ+isinθ)(r>0)とする。
三角形ABCがAB=ACの二等辺三角形となるとき、z全体の表す図形を求めよ。

この問題の解き方を教えてください。
計算過程もお願いします。

※絶対値を使って、z=r(cosθ+isinθ)を使わずに解くのが簡単ですが、あえて、z=r(cosθ+isinθ)を使って解いてください。お願いします。

回答No.1

akinomyoga · ベストアンサー

> ※絶対値を使って、z=r(cosθ+isinθ)を使わずに解くのが簡単ですが、あえて、z=r(cosθ+isinθ)を使って

という制約が曖昧なので答えづらいのですが…辺の長さ自体が絶対値で表されるので、絶対値を一切使わないという事はできません。とすると、何処まで絶対値を使って計算して良いのか、何処から極形式で計算しなければならないのかというのが問題になります。以下、どの程度絶対値を使うかに従って二つ回答を呈示します。

後、前提を追加させて頂きます:
(前提1) 三角形ABCは潰れない (つまり、AB≠0, BC≠0, AC≠0)
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(解1) 絶対値を使った式変形が許される場合
AB = |z-z^2| = |z|×|1-z|
AC = |z-z^3| = |z|×|1-z|×|1+z| = AB×|1+z|
AB = AC と (前提1) より、
　1 = |1+z| = |1 + r cosθ + i r sinθ|.
辺々自乗し整理
　1 = |1+z|^2 = (1+r cosθ)^2 + r^2 sin^2θ = 1+2r cosθ + r^2,
　r (2 cosθ +r) = 0.
r>0 より、
　2 cosθ +r= 0,
　r = -2 cosθ■
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(解2) 絶対値の因数分解が許されない場合
　(結局絶対値の因数分解を手でやっているだけなので不毛な感じがしますが…)

各点の複素数は
　A: z = r(cosθ + i sinθ),
　B: z^2 = r^2(cos2θ + i sin2θ),
　C: z^3 = r^3(cos3θ + i sin3θ).
辺ABの長さを r, θ で表す:
　AB^2 = |r(cosθ - r cos2θ) + i r(sinθ - r sin2θ)|^2
　　= r^2 ((cosθ - r cos2θ)^2 + (sinθ - r sin2θ)^2 )
　　= r^2 (1 + r^2 - 2r (cosθ cos2θ + sinθ sin2θ) )
　　= r^2 (1 + r^2 - 2r cosθ).
辺ACについても同様に、
　AC^2 = r^2 (1 + r^4 - 2r^2 cos2θ)
　　= r^2 (1 + r^4 - 4r^2 (cosθ)^2 + 2r^2).
AB = AC より、
　AB^2 = AC^2,
　r^2 (1 + r^2 - 2r cosθ) = r^2 (1 + r^4 - 4r^2 (cosθ)^2 + 2r^2),
　r - 2 cosθ = r^3 - 4r (cosθ)^2 + 2r, [∵ r>0],
　0 = r + 2 cosθ +r (r^2 - 4(cosθ)^2)
　　= (r + 2 cosθ) (1 + r(r+2cosθ))
　　= (r + 2 cosθ) ((r+cosθ)^2 + (sinθ)^2).
よって、"(i) r = -2 cosθ" または "(ii) r = -cosθ かつ sinθ=0" となる。
sinθ = 0 の時、三角形ABCは潰れてしまうので (前提1) に合わない。つまり (ii) は解として不適。
よって r = -2cosθ■
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※もし (前提1) を置かない場合 r = -2 cosθ の他に r = 1, θ = 0 も解になります。つまり答えは、
　r = -2 cosθ または (r, θ) = (1, 0)
になります。

お礼

解2がまさに私が欲しかったものです！！
0 = r + 2 cosθ +r (r^2 - 4(cosθ)^2)
これが出てきて、どうやったらr = -2 cosθが出せるのかずっと困っていたのですが、因数分解を使うとは！すっきりしました。
本当にありがとうございます。