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数学の問題です｡どなたかお願いします｡
αを-π≦α<πを満たす定数とし,次のような複素数平面上の図形C1,C2を考える｡ C1:zが複素数平面上の円|z|=1上を動くとき,w=z^2+z+1を満たす点wがえがく図形 C2:tが正の実数を動くとき,w=t(cosα+isinα)を満たす点wがえがく図形 (１)z=cosθ+isinθ(-π≦θ<π)とおくとき,次の(ｱ),(ｲ)に答えよ｡ (ｱ)次の式を満たすf(θ)を求めよ｡ z^2+z+1=f(θ)(cosθ+isinθ) (ｲ)θがθ=-πから出発して,-π≦θ<πの範囲をあともどりすることなく動くとする｡この間にw=z^2+z+1を満たす点wが2回通過する点が唯一つ存在することを示し,その点を求めよ｡ (２)C1とC2の共有点の個数を調べよ｡
- wawawa5157
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- 上野 尚人（@uenotakato）
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(1) (ア) z^2 + z + 1 = (cos2θ + i sin2θ) + (cos θ + i sin θ) + 1 = { cos θ + 2 (cosθ)^2 } + i ( sinθ + 2 sinθcosθ ) = (1 + 2 cosθ) (cosθ + i sinθ) よって f(θ) = 1 + 2 cosθ (イ) 図より原点O （iPhone用アプリQuick Graphを使用） （曲線は蝸牛線（かぎゅうせん、リマソン）と呼ばれる曲線の一種です） (2) C2は原点Oから伸びる偏角αの半直線（原点Oを除く）である。 （図には α = ±π/3 に相当する半直線をつけています） -π/3 < α < π/3 のとき 2個 -π ≦ α ≦ -π/3 , π/3 ≦ α < π のとき 1個
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