数学

質問

xyz空間において、xz平面上で曲線C1:z=sinx(0≦x≦π)とx軸で囲まれた図形をD1とし、yz平面上で曲線C2:z=sin^y(0≦y≦π)とy軸で囲まれた図形をD2とする。またtが0≦t≦πの範囲を変化するとき、2点P1(t,0,sint),P2(0,t,sin^2t)を結ぶ線分P1P2が動いて描く曲面をD3とする。図形D1、D2、曲面D3、xy平面の４つで囲まれる立体図形Kの体積Vをもとめよ。

（解）
x=y=tで立体図形をz軸に平行なるように切ってできた平面の面積は
　1/2・√2・t(sint+sin^2t)=√2/2{tsint+(1-cos2)/2}
よって求める体積は
V=√2/2∫(0→π){tsint+(1-cos2)/2}dx
=√2/2[-tcost+sint;1/4t^2-1/2tsin2t-1/4cos2t]０→π
=√2/2(π^2/4+π-5/4)

と考えたのですが、間違っていないでしょうか？

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

対補足
右辺は計算し易いように変形したものです。
＞tsin^2tが(1-cos2)/2になるのかね？
直線ｙ＝ｘ方向の微小距離Δｔ/√２をかけて０~πで積分するとはどういうことですか？
＞x-y平面上の直線y=xと直交する２平面の間隔は、両平面のx軸、y軸方向の
間隔が△tのとき△t/√2である。

回答No.1

yyssaa

x=y=tで立体図形をz軸に平行なるように切ってできた平面の面積は
　1/2・√2・t(sint+sin^2t)=√2/2{tsint+(1-cos2)/2}
＞4点(t,0,0)、(0,t,0)、(0,t,sin^2t)及び(t,0,sint)で
出来る台形の面積であれば、上式左辺1/2・√2・t(sint+sin^2t)
の通りです(右辺は？)。
体積Vは、これに直線y=x方向の微小距離△t/√2をかけて0～πで
積分するのではありませんか？

補足

右辺は計算し易いように変形したものです。
直線ｙ＝ｘ方向の微小距離Δｔ/√２をかけて０~πで積分するとはどういうことですか？