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数学の質問です
P(cost,sint)(0≦t≦π)がxy平面上にある。Pから距離d(d>1)であるQがX軸上の正にある。PQの中点Rの描く曲線とX軸で囲まれる部分の面積を求めよです これがわかりません 過程もおねがいします
- imamuratakuya
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中点Rの描く曲線は媒介変数表現で R(x,y)=(cos(t)+(1/2)√{d^2-(sin(t)^2},sin(t)/2) (0≦t≦π,(d/2)-1≦x≦(d/2)+1) 中点Rの描く曲線とX軸で囲まれる部分の面積S S=∫[(d/2)-1,(d/2)+1] ydx x=cos(t)+(1/2)√{d^2-(sin(t)^2}で変数変換 dx=-(sin(t)+(1/2)cos(t)sin(t)/√{d^2-(sin(t)^2})dt x:[(d/2)-1→(d/2)+1]⇒t:[π→0] y=sin(t)/2 より S=-∫[π,0] (1/2)(sin(t))^2{1+(1/2)cos(t)/√{d^2-(sin(t)^2})dt =(1/2)∫[0,π] (sin(t))^2{1+(1/2)cos(t)/√{d^2-(sin(t)^2})dt (途中計算省略) =π/4 中点Rの描く曲線(赤線)と求める面積Sの領域(黄色)の図を添付しておきます。
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- rnakamra
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Pの描く軌跡はすぐにわかると思います。 問題はQそしてRの軌跡。 QはPに合わせて動く点になります。とはいってもさほど難しくは無く、Q(x,0)として PQ^2=(x-cost)^2+(sint)^2=d^2 としてxをtの式で表せばよいのです。所詮は2次方程式、解の公式を使えば簡単に解けます。解は二つありますが、x>0となる点は一つしかないでしょう。 Rの座標は R((x+cost)/2,sint/2)となります。 Rのy座標が"0"になる点(Rの軌跡がx軸と交わる点)でのtの値は簡単に得られますので、そのときのRのx座標は簡単に計算できます。 後は S=∫[X:X0→X1]YdX ((X,Y)はRの座標) とすればよいのですが、Xの積分からtの積分に変換したほうが簡単そう。計算はしていないけど。
お礼
速い解答ありがとうございます。図まで丁寧にかいてくださりほんと感謝です。
- Willyt
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まず、Pは減点から1の距離です。つまりtの値によりその位置が変わりますが、半径1の円周上を動きます。一方、Qの座標は(d、0)です。そうするとRの座標は{(d+cost)/2 , sint/2)となります。x=(cost+d)/2 y=sint/2 より、 cost=2x-d sint=2y これをピタゴラスの定理 sin^2t+cos^2t=1 に代入すれば、Rの描く曲線が求まります。積分の境界はこの図形とx軸が交わる二つの点の間です。 あとはご自分でどうぞ(^_^)
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
あらら、これがわからないか・・・。 難しく考えすぎてはいないかな? 点Pをよく見て? Pが描く「絵」はどんな形かな? 原点から 点P までの距離を 出してみると、 √(cos^2t+sin^2t)=1だね。 #まさかこれがわからないって事はないよね^^; つまり、点Pが描く絵は、x軸の上側、原点を中心とした半円だね♪ Qは d>1 なんだから半円の外で (d、0)にあるんだね。 で、このQと、Pの中点の軌跡だよね。 難点か適当にとって見ると、イメージできると思うよ~♪ まず「絵」を描く癖をつけたほうがいいのかもしれないよ。 こういうのは、数式だけでやれるようになるには、かなり大変だからね^^; σ(・・*)未だに絵をかくもん(頭の中に^^;) 代数学の非常勤講師で、ストレス性の胃炎らしく死んでます~~。 がんばれ~。(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
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お礼
図までありがとうございます。感謝です。