高校数学のベクトルのパラメータ表示と曲線の特性

このQ&Aのポイント
  • 高校数学のベクトルのパラメータ表示の問題について解説します。
  • 質問の内容は、原点をOとし平面上の2点A(0,1),B(0,2)をとり、OBを直径とする半円Tに糸を巻きつけられたPが描く曲線の性質を求めるものです。
  • 具体的な解法について詳しく説明します。
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高校数学のベクトルのパラメータ表示の問題です

原点をOとし平面上の2点A(0,1),B(0,2)をとる OBを直径とし点(1,1)を通る半円をTとする 長さπの糸が一端をOに固定してTに巻きつけてある この糸の他端Pを引き、それがx軸に到達するまで、ゆるむことなくほどいてゆく 糸と半円との接点をQとし ∠BAQの大きさをtとする (1)ベクトル↑OPをtを用いて表せ (2)Pが描く曲線とx軸およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ (3)Pが描く曲線の誇長を求めよ ↑OP=↑OA+↑AQ+↑QP =(0,1)+{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)} とあったのですが↑OAが(0,1)は分かるのですが、↑AQ+↑QP が{cos(π/2-t),sin(π/2-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)}となるのが 分かりません、多分↑AQが{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}になると思うのですが、角度がπ/2-tになるのが分かりません ↑QP の角度π-tも分からないので、よろしくです

質問者が選んだベストアンサー

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noname#199771
noname#199771
回答No.22

#21補足について。 そういうことです。 図では鈍角みたいになってますが そうとは限らないことに注意。

arutemawepon
質問者

お礼

ありがとうございました~

arutemawepon
質問者

補足

有難うございます、これで、やっとこの問題は理解することが出来ました、長いことどうもありがとうございました~

その他の回答 (21)

noname#199771
noname#199771
回答No.21

#20の補足について。 >cosの前に-が付くのが分からないです 質問文に貼り付けられた図では鈍角だから ベクトルAQのy成分が負になります。 π-鈍角=鋭角なのでcosを取ると正の数 になるのでマイナスをつけて負になります。 tが鋭角のときはベクトルAQのy成分が正 になります。 π-鋭角=鈍角なのでcosを取ると負の数 になるのでマイナスをつけて正になります。 tが直角のときはベクトルAQのy成分は0です。 π-(π/2)=π/2でcosを取ると0となります。 もちろんマイナスをつけても0です。 符号が合うように調整してあるのです。

arutemawepon
質問者

お礼

御返答有難うございます

arutemawepon
質問者

補足

>y成分が負 これはy成分が下向きだからって事ですよね?上向きが正ですから、x成分が正なのも右向きだからですよね

noname#199771
noname#199771
回答No.20

#19の補足。 なにやら難しく考えてすぎに見えますが ∠mQXを符号付き角度にしたんですね。 そういうのは一般的ではないけど言わんと していることは伝わる。 最後の等式が惜しい。 最後の式の2項目の符号は+でなくて-。 なんとなく光が見えてきた気がするので、 極座標について基本事項の練習をオススメ します。

arutemawepon
質問者

お礼

補足を書いた後に気づいたので、こちらに書きますが 解答NO2で別の方がAQのy成分を-cos(π-t)としていらっしゃったのですが、偏角は分かるのですが、cosの前に-が付くのが分からないです、何故-がつくのか教えてください

arutemawepon
質問者

補足

∠PQm=π/2+(π/2-t)(∠mQXは↑AQの偏角)=π-tでしたね

noname#199771
noname#199771
回答No.19

#18の補足について。 >π/2です それならわかるなら#11はわかりますよね? 同じこと言ってるんですから。 ちなみに#11というのはこの質問の回答No.11 のことです。

arutemawepon
質問者

お礼

御返答有難うございます

arutemawepon
質問者

補足

こう考えてみました、まずQからx軸に平行な直線を引いてそれをmと置きます、そして∠mQXが偏角AQと同じで負の値ですから-∠mQX+∠PQm=π/2として ∠PQm=π/2+∠mQX=π/2+(t-π/2)(∠mQXは↑AQの偏角) 考え方とか合ってますか?

noname#199771
noname#199771
回答No.18

>どう考えても、その関係が分からないです #11のことですか? 何度も説明してるんですけどねぇ。 >図等での説明を だからそれを自分でやってくださいと 言っているわけですが。 なぜこれを他人に要求するのか理解に苦しみ ますが、手順を書くのでその通りやってください。 ・問題文にある図をそのままノートに写しとる  ただし大きさはノート半ページくらい使って  できるだけ大きく ・赤えんぴつ(ボールペンでも可)を用意 ・定規をAQに沿って当てて、QからAQを延長  するようにして線分を引く、ただし線分の長さ  はAQと同じになるように ・赤い線の右下の端の点をXとして、角XQP  は何になりますか? >この問題集は後2,3問で終わりなので、それが >終わったら違うのをやることにします 悪いけど、それらに手を付けずにすぐ切り替えた 方がいいと思いますよ。

arutemawepon
質問者

お礼

御返答有難うございます

arutemawepon
質問者

補足

>なぜこれを他人に要求するのか理解に苦しみ >ますが、手順を書くのでその通りやってください。 自分でも何回も書いてやってみるんですが、なかなか理解できないです >赤い線の右下の端の点をXとして、角XQP >は何になりますか? π/2です >悪いけど、それらに手を付けずにすぐ切り替えた >方がいいと思いますよ。 後2問だけだし、途中でやめたら何か気持ちわるいので、これだけは最後までやってみます

noname#199771
noname#199771
回答No.17

#15の補足。 >Qからx軸に平行な直線を引いてその >直線とQPで囲まれた角が偏角なので、 >そこを求めようとしていますが そのようにAQを無視してはダメです。 ベクトルAQをπ/2回転したものが ベクトルQPになるという関係を使って ください。 他の質問をみて思いましたがあなたが 使われている問題集はレベルが少々 高すぎるのでは?基礎的な理解をする ための教材に切り替えたほうがいいよう に思います。急がばまわれですよ。

arutemawepon
質問者

お礼

御返答有難うございます

arutemawepon
質問者

補足

>ベクトルAQをπ/2回転したものが >ベクトルQPになるという関係を使って >ください。 そこを何とかしようとしているのですが、どう考えても、その関係が分からないです、大変申し訳ないのですが、図等での説明をお願いできませんでしょうか、言葉だと限界があるような気がします >基礎的な理解をする >ための教材に切り替えたほうがいいよう >に思います。急がばまわれですよ。 この問題集は後2,3問で終わりなので、それが終わったら違うのをやることにします

  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.16

ちょっと頭を冷やしたので忠告。 berokandaさんの、「めんどくさくてもいちいちノート に図を描きましょう」は全面的に同意。 ついでにいえば、自分の考えた道筋は、文章にして 紙に書く。どこが判って、どこが判らないか、頭が 整理できるので。 それから、berokandaさんと私は同じことを言っている かもしれないが、少なくとも表現は違っている。その 両方を並行して処理するのは(失礼ながら)今の あなたには無理だと思う。まずはどちらかの説明を しっかり読んで理解することをお勧めする。

arutemawepon
質問者

お礼

御返答有難うございます

arutemawepon
質問者

補足

>自分の考えた道筋は、文章にして >紙に書く。どこが判って、どこが判らないか、頭が >整理できるので。 分かりました、やってみます >berokandaさんと私は同じことを言っている >かもしれないが、少なくとも表現は違っている 両方必要な解法だと思うので、習得したいです 貴方の一旦AQの偏角をsinで表してからcosで表しなおすと偏角が求まるというのは分かりやすかったです、そちらは分かったんですが、後はQPの偏角にπ/2を足すというやり方がまだわかりません

noname#199771
noname#199771
回答No.15

>上手く偏角が求まりません 何度も言っているように、AQがわかる のだからそれにπ/2を足すだけ。 図を描いたのなら一目瞭然のはず。 求まるとかなんとかいう話ではないです。 じゃあAQはわかるんですか? 話が堂々巡りしている気がする。 このサイトで問答していて進展はありました?

arutemawepon
質問者

お礼

御返答有難うございます

arutemawepon
質問者

補足

>AQがわかる >のだからそれにπ/2を足すだけ。 AQはAからx軸に平行な直線を引いて、その直線とAQとで囲まれた角度と言うことでπ/2-tとして求まりました ここから同じように、Qからx軸に平行な直線を引いてその直線とQPで囲まれた角が偏角なので、そこを求めようとしていますが、AQとの偏角の関係が分からないです

noname#199771
noname#199771
回答No.14

#13の補足。 >始点を合わせるようにしない >と分かりづらいです その後にあなたが書いたとおり にやってみればいいです。 なぜ手を動かして確かめようと しないんですか? 図形の問題は頭のなかだけで 考えてはダメです。 めんどくさくてもいちいちノート に図を描きましょう。

arutemawepon
質問者

お礼

御返答有難うございます

arutemawepon
質問者

補足

>その後にあなたが書いたとおり >にやってみればいいです。 やりましたが、上手く偏角が求まりません、始点をQに揃えた場合のQPの偏角をどうやって出すか教えてください

noname#199771
noname#199771
回答No.13

#11の補足について。 ベクトルAQをAを中心にして90度 回転させるとベクトルQPと同じ向き になるってことです。 もしかしてベクトルの基本的な操作に あまり慣れていない?

arutemawepon
質問者

お礼

御返答有難うございます

arutemawepon
質問者

補足

>ベクトルAQをAを中心にして90度 >回転させるとベクトルQPと同じ向き >になるってことです。 始点を合わせるようにしないと分かりづらいです、QPの始点はQですが、AQの始点のAをQに合わせて考えることは出来ますか?

  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.12

ベクトルAQをx成分とy成分に分解してごらん。 Qからy軸におろした垂線とy軸との交点をRとしたら、 ベクトルAQのx成分はベクトルRQじゃない? 同じくy成分はベクトルARじゃない? なんで「y軸に下ろした垂線だから」「x成分ではない」 と思えるかな?

arutemawepon
質問者

お礼

御返答有難うございます

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