数学IIIの微分法の応用 接線・法線 の問題です

質問

数学IIIの微分法の応用　接線・法線　の問題です

xy平面上の曲線Ｃ：x=sint , x=sin2t (0<t<π/4)　について、
Ｃ上の点Ｐ(sinα, sin2α）における、曲線Ｃの接線lの方程式を求めよ。

答えは
ｙ=(2cos2α/cosα)x+sin2α-(2sinαcos2α/cosα）

となるんですが、
どうしたらこの答えにたどり着くのか分かりません。
分かる方詳しく解説よろしくお願いします。

回答No.5

Mr_Holland · ベストアンサー

ANo.3/4です。
＞dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2cos(2t)/cos(t)と傾きを出したあとは点Pの座標を傾きに代入してしまえばいいんですか？

　その通りです。
　点Pはt=αのときの値ですので、点Pの接線の傾きはtにαを代入して　2cos(2α)/cos(α)　となります。

お礼

丁寧に教えていただきありがとうございました。
助かりました。（＾＾

回答No.4

Mr_Holland

ANo.3です。
＞もしよろしければ、自分の回答が正しいか確認をしたいので続きを書いていただけると助かります。

　了解です。
　しかし、答えも分かっているので　あとは大してすることはありませんが。

　dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2cos(2t)/cos(t)

　このことから　点Ｐ(sinα, sin2α）　における接線の方程式は次のようになります。
　　y-sin(2α)=2cos(2α)/cosα (x-sinα)
　⇔y=(2cos(2α)/cosα)x +sin(2α) -2sinαcos(2α)/cosα

お礼

解説ありがとうございます。
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2cos(2t)/cos(t)と傾きを出したあとは
点Pの座標を傾きに代入してしまえばいいんですか？

回答No.3

Mr_Holland

＞C:x=sint , y=sin2t　はxの式とyの式は別々のものを表しているのですか？
＞それとも曲線Cの座標を表しているんですか？

　そうです。この(x,y)は曲線C上の座標を表しています。
　もっといえば、曲線Cの方程式と言えます。
　そして、このように媒介変数ｔを使って表す方法を　媒介変数表示　といいます。

　このとき、この曲線C上の接線の傾きは媒介変数を使って次のようになります。
　　dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2cos(2t)/cos(t)

　後は質問者さんの力でしたら解けそうですので、割愛しますね。

お礼

媒介変数と考えるんですね。
分かりました。やってみます。
もしよろしければ、自分の回答が正しいか確認をしたいので
続きを書いていただけると助かります。

回答No.2

ninoue

問題の式のtに具体的に数値を代入してプロットすると図形が描けます。
例えばt=0,30,60,90,...330,360度として図を描いてみてください。
このようなx,y軸として単振動を与えた場合に描かれる図形は一般にリサージュ図形として知られていますのでサーチしてみて下さい。
例えば次等があります。

http://www2.plala.or.jp/Artificial/HomePage/Book/lissa-sample.html
正弦波によるリサージュ図形の描画

問題はこの周波数比(x,y) 1:2 位相差　0°の図形に相当します。

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/lissajous/
リサージュ図形

その他にも色々な図形がありますので、次等を参照してください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/Category:曲線　

x,yが媒介変数tで表されている場合、
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) で求める事が出来ます。

回答No.1

OKXavier

点(a,b)での傾きがmの接線の方程式は
y-b=m(x-a)
を理解していますか？

補足

そこは分かります。
C:x=sint , y=sin2t　はxの式とyの式は別々のものを表しているのですか？
それとも曲線Cの座標を表しているんですか？