接線の問題

質問

（問）曲線x^2+3xy-y^2=3上の点（1,2)における接線の方程式を求めよ。
　(疑問点)
　両辺をxで微分して、2x+3(y+xy’)-2yy’＝0になる過程がわからないのです。とくに、y＾２をxで微分するとどうなるかがわからないのだとおもいます。詳しくよろしくおねがいします。

回答No.1

naokomann · ベストアンサー

微分というのは、傾きを出す計算方法で、ｘの傾きは１とわかります。

例で、２ｘの微分式を考えてみます。
２ｘをｘで微分をすると、傾きなので２と出てきます。
もしくは、数字の傾きは関係がないので、ｘのみ微分すると考え、ｘの傾きは１なので、２×１で２と出てきます。

ここから本題です。
(1)ｘ＾２はそれぞれのｘに対して微分を行うので、二つあるｘのうち一つ目のｘを微分して１、二つ目のｘを微分して１がそれぞれでてくるので、
１×ｘ＋ｘ×１＝２ｘと出てくるわけです。

(2)３ｘｙのように分からない文字が二つ出てきた場合には、ｘとｙでそれぞれ傾きを出します。
　ｘの傾きは１なので、３×１×ｙ＝３ｙ
　ｙの傾きはｘ座標からｙ座標を求めて…という段階が必要なので、ｙ’(x)とおきます。
そうすると３×ｘ×ｙ’（ｘ）＝３ｘｙ’

(3)－ｙ＾２も(1)と同様にしますが、微分すべきｙの値はやはりｘ座標から求めることになるので、ｙ’（ｘ）と書きます。
ここでも(1)と同じように二つあるｙのうち、一つ目のｙを微分、二つ目のｙを微分というように行うと、
ｙ’（ｘ）×ｙ＋ｙ×ｙ’（ｘ）＝２ｙｙ’

となります。
分かりにくければかまわず仰って下さい。

補足

とても理解しやすい解説ありがとうございます。
加えて質問なんですが、あなたの解法は「積の微分法」と考えてよろしいのですか？だとしたら、「積の微分法」って、ｘの式の積でなくてもｙの式の積でもｙ'を使うことで、ｘとｙが混ざっている式であっても、ｘについて「
積の微分法」で解けるということですか？

回答No.3

springside

「y^2をxで微分する」ということですが、あまり難しく考えず、以下のように「分数の計算」として機械的に覚えてしまえばいいです。

d(y^2)　　　　d(y^2)　　　　dy
------ ＝ -------×------ ＝ 2y×y'
　dx　　　　　　dy　　　　　dx

回答No.2

totoro7683

まずｙをxの関数と考えます。
（実際にy=y(x)の形に解く必要はない。）
この問題でかぎとなるのはxyとy^2をxで微分するとどうなるかということです。
xyを微分するには積の微分を使います。f,gをｘの関数とすると、(fg)'=f'g+fg'が成り立ちます。
f=x,g=yとおくと(xy)'=y+xy'となります。（y'=dy/dx)
y^2をxで微分するには合成関数の微分を使います。
zをyの関数、ｙをxの関数とするとzをxで微分した式は
dz/dx=dz/dy*dy/dx　で与えられます。
z=y^2とおくと、（y^2)'=2y*y'となります。
したがって
x^2+3xy-y^2=3の両辺を微分すると
2x+3(y+xy')+2yy'となります。
微分係数y'(1)を求めるにはx=1,y=2を代入すればいいです。