• ベストアンサー
  • 困ってます

接線と方程式

2次曲線の接線の方程式について方程式ax^2+ bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0を満たす点(x,y)が存在するとき、xとyの間には一種の関数関係があると考えることができる。y をxの(陰)関数をとして合成関数の微分法を適用することにより、y^,をx , yの式で表せ。 また上記の結果を利用して、円、楕円、双曲線、放物線上の点P(x0,y0)における接線の方程式を導け。ただし、いずれの曲線も標準形で表してよい。 という問題ですが、 まず最初のy^,をx , yの式で表せというのは 2ax + bxy' + 2cx + ey' = 0 y' = -(2ax + 2cy) / (bx + e) ということでいいのでしょうか すると点P(x0,y0)における接線の方程式において y - y0 = {-(2ax + 2cy) / (bx + e)} (x - x0) ということになりますがこのあとの処理がわかりません・・・・。

noname#46595
noname#46595

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
  • Meowth
  • ベストアンサー率35% (130/362)

ax^2+ bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 2axdx+bydx+bxdy+2cydy+ddx+edy=0 (2ax+by+d)dx+(bx+2cy+e)dy=0 y^がdy/dxのことなら dy/dx=-(bx+2cy+e)/(2ax+by+d) 接線の式は、 (2ax0+by0+d)(x-x0)+(bx0+2cy0+e)(y-y0)=0 点P(x0,y0)は方程式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f= 0上の点だから ax0^2+bx0y0+cy0^2+dx0+ey0+f= 0がなりたつ。 接線の式を展開すると、定数項は 2ax0^2+2bx0y0+2cy0^2+ey0+dx0 =-2(dx0+ey0+f)+ey0+dx0 =-dx0-ey0-2f (2ax0+by0+d)x+(bx0+2cy0+e)y=dx0+ey0+2f とくに、1次の項が0(e=d=0)の場合、 (ax0+by0/2)x+(bx0/2+cy0)y=f 対角化されていてb=0の場合=いわゆる標準形の場合、 ax0x+cy0y=f 円、楕円、双曲線、放物線の点P(x0,y0)における接線の方程式は、 曲線も標準形なら、 円 x^2+y^2=r^2 → x0x+y0y=r^2 楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 → x0x/a^2+y0y/b^2=1 双曲線 x^2/a^2-y^2/b^2=1 → x0x/a^2-y0y/b^2=1

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • Meowth
  • ベストアンサー率35% (130/362)

(訂正と追加) 符号をまちがえたので、 (2ax0+by0+d)x+(bx0+2cy0+e)y=-(dx0+ey0+2f) とくに、1次の項が0(e=d=0)の場合、 (ax0+by0/2)x+(bx0/2+cy0)y=-f 対角化されていてb=0の場合=いわゆる標準形の場合、 ax0x+cy0y=-f 放物線を抜かしたので、 放物線の標準形 y^2 =4ax (2ax0+by0+d)x+(bx0+2cy0+e)y=-(dx0+ey0+2f) でa=0,b=0,c=1,d=-4a,e=0,f=0とおけば、 -4ax+2cy0y=4ax0 y0y=2a(x+x0)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

>y' = -(2ax + 2cy) / (bx + e) >ということでいいのでしょうか 少し違います。 ax^2+ bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 2ax + bxy' + by + 2cyy' + d + ey'=0 (bx + 2cy + e)y' = -(2ax + by +d) y' = -(2a + by +d)/(bx + 2cy + e) >y - y0 = {-(2ax + 2cy) / (bx + e)} (x - x0) >ということになります 少し違います。直線の方程式ですから変数x,yは1個ずつです。 y - y0 =-(2ax0 + by0 +d)/(bx0 + 2cy0 + e) (x - x0) ・・・(1) でしょう。次に円の標準的な形は (x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2 x^2 - 2mx + y^2 -2ny + m^2 + n^2 - r^2 = 0 a=c=1,b=0,d=-2m,e=-2n,f=m^2 + n^2 -r^2 となって(1)は y - y0 =-(2x0 - 2m)/(2y0 - 2n) (x - x0) (y0 - n)(y - y0) =-(x0 - m)(x - x0) (x0 - m)(x - x0) + (y0 - n)(y - y0) = 0 ・・・(2) こういうことが求められているのではないでしょうか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

ax^2+ bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 2ax+by+bxy'+2cyy'+d+ey'=0 > 2ax + bxy' + 2cx + ey' = 0 この式は間違いです。 y'=-(2ax+by+d)/(bx+2cy+e) > 点P(x0,y0)における接線の方程式において >y - y0 = {-(2ax + 2cy) / (bx + e)} (x - x0) は間違いで y -y0 = -{(2ax0+by0+d)/(bx0 +2cy0+e)}(x -x0) …(A) が正解です。 例えば円の場合標準形は (x-p)^2+(y-q)^2=r^2 …(1) これを2次形式に展開すれば x^2+y^2-2px-2qy+p^2+q^2-r^2=0 2次形式の式の係数と比較して a=c=1,b=0,d=-2p,e=-2q,f=p^2+q^2-r^2 これらの関係を(A)に代入すれば円(1)の接線の方程式になります。 y-y0=-(2x0-2p)(x-x0)/(2y0-2q)=-(x0-p)(x-x0)/(y0-q) 整理して (p-x0)(x-x0)+(q-y0)(y-y0)=0 これが円の接線の方程式です。 楕円、双曲線、放物線でも同じように標準形を2次形式に変形して 係数を比較して、その結果を接線の式に代入して式を整理する方法で 各標準形に対して簡単に接線か求められます。 やってみて下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 接線があることを示す

    C={(x,y)∈R^2,ax^2+bxy+cy^2+1=0} (a,b,c)≠(0,0,0) というxy平面の図形がC≠0でC上のどの点でも接線が存在することを示すという問題があるのですが、 ax^2+bxy+cy^2+1=0 この式というのは2次曲線の式なので楕円、双曲線、放物線のどれかになると思うのですが、これらになるのだったら間違いなく接線はどの点でも存在するというのは当たり前なのではありませんか? それとも私の問の理解の仕方が間違っているのでしょうか?

  • 曲線上の点を通る接線

    (1)曲線y=x^3+ax^2+bxが曲線上の点(x、y)=(1/3,-8/27)において、y=-2/3x-2/27を接線にもつときの aとbの値を求めよ (2)y=x^2+x+1のグラフに点A(1、2)から2本の接戦が引ける。この2本の接線の方程式を求めよ。 この2つ問題で疑問なんですが、曲線の接戦は交わる点が1つではなく2つでもいいのですか? (1)は導関数から、傾きを出して、もう一方の式の傾きと=の式をつくり、a,bの値を求める。 ここで疑問なのですが、なぜ傾きが同じかということです。 イメージ的には下の図のようになるのでしょうか?(自分で書いてみました。) (2)も同じで好転は2つでもよいのですか? 教えてください。よろしくお願いします。

  • また接線についての質問です

    曲線 y=x3乗+ax2乗+bx 上の点(2,4)における接線はx軸に平行である という問題で、接線の方程式を求めたのですがそこからa,bをどのようにして求めたらいいかわかりません。

  • 微分方程式 接線方程式

    曲線y=f(x)が任意の点Pでの接線が x軸と交わる点をQ、y軸と交わる点をRとするときPがQRの中点である。 y=f(x)を満たす微分方程式を求める問題で 解答は 接線の方程式 y=y'(x-a)+b    (1) 点Qのとき0=y'(x-a)+b       (2) 点PはQRの中点→a=x/2 b=y/2 (3) (3)を(2)に代入して微分方程式を立てています。 なぜですか? (1)を立式した時点で傾きy'と通過する点(3)がわかるので(1)に代入しませんか?

  • 接線の方程式

    2曲線y=x^3-2x+1とy=x^2+2ax+1が接する時 定数aの値を求めよ。またその接点における共通の接線の方程式を求めよ。 よろしくお願いします。

  • 共通接線

    曲線C:y=ax^3+bx^2+cx+dが、x=0で放物線y=x^2-2x+3と共通な接線をもつとき、c,dの値を求めよ。さらに、曲線Cがx=2で直線y=3x-7に接するときa,bの値を求めよ。 接点を文字で置き換えて、接線の方程式に代入してみたのですが、文字が多くなってしまい、わけがわからなくなってしまいました。 共通な接線をもつときは、どのように解けばいいのでしょう? 途中計算から教えていただけると嬉しいです。

  • 接線の方程式の問題なんですが

    y=ax^2+bx+cが点(1.-3)を通りかつ点(2.6)において 曲線y=x^3+dxと共通の接線を持つとき、定数a.b.c.dを求めよ。 という問題なんですが、どうとけばいいのでしょうか>< (2.6)で接するということはそこでyと微分係数が等しくなるということしかわかんないです;; (1.-3)はどのように使って問題をといていくのでしょうか。

  • 接線の方程式

    曲線(x^2)/4-y^2=1において曲線上の点(4,√3)における接線の方程式を求めよ 参考書の答え x-√3y=1 (x^2)/4-y^2=1に(4,√3を代入してからどうするんですか? 詳しい解説お願いします。

  • 接線の方程式について

    接線の方程式 曲線上の点(a,f(a))における接線の方程式はy-f(a)=f'(a)(x-a)だとすると 曲線y=2x^2+2x+2上の点(-2.6)における接線は? a=-2 f(a)=6だからf'(a)はf(a)=6を微分して0にってだめですよね!?

  • 接線の方程式について

    「放物線 y=x^2-2x+2・・・(1) 上の点(3,5)における接線の方程式を求めよ。」と言う問題で、接線を y=ax+b として(1)に代入し x^2-2x-ax+2-b=0 というところまではできたのですが、この先のやり方の見通しがつきません。どのよう方法で解いていけばよいのでしょうか?