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数IIIの問題なんですが、、、
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- mister_moonlight
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休みボケか W >3倍角の公式より、cos(3θ)=4(cosθ)^3-3cosθ、sin(3θ)=3sinθ-4(sinθ)^3から、x^(2/3)+y^(2/3)=1という曲線になる。 アステロイドの方程式を求めるだけなら、x=cos^3θ、y=sin^3θ より、x^(2/3)+y^(2/3)=(cosθ)^2+(sinθ)^2=1という曲線になる。 3倍角による変形は、面積を求める時に使うだけ。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
これは、パラメーターθを次のように消去する。 3倍角の公式より、cos(3θ)=4(cosθ)^3-3cosθ、sin(3θ)=3sinθ-4(sinθ)^3から、x^(2/3)+y^(2/3)=1という曲線になる。 これは、アステロイドと呼ばれている。 さて、その面積だが、図形が下のURLに載ってるから、すぐ出来るだろう。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%AD%E3%82%A4%E3%83%89_(%E6%9B%B2%E7%B7%9A)
お礼
ありがとうございました!
- yamori2009
- ベストアンサー率61% (11/18)
t=θとします x^2=cos^6t=(1-sin^2t)^3=(1-y^(2/3))^3 x^(2/3)+y^(2/3)=1 このグラフはx軸対称かつy軸対称です(x>=0,y>=0で考えます) x=0のときy=1,x=1のときy=0であり、xが増加すればするほどyは減少することも分かりますから、求める面積は 4∫[0,1]ydx=12∫[0,π/2]sin^4tcos^2tdt =3/4∫[0,π/2](1-cos4t)(1-cos2t)dt =3π/8
お礼
ありがとうございました!! やってみます。
これ、θの範囲を決めないと発散しませんか?
補足
私もそう思ったんですけど、 問題集に書いてなかったんですよ(+。+); 解けないってことですよね。
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お礼
ありがとうございました。