数学IIIの問題です。困っています。

質問

曲線 y= sin x（0≦x≦π/2）、直線 x=π/2、x軸で囲まれる部分の面積を、曲線 y=α cos xが、2等分するようなαの面積を求めよ。

宜しくお願い致します。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

y=sinxとy=αcosxとの交点のx座標をx1、
すなわちsinx1=αcosx1・・・(ア)として
∫[0→x1]sinxdx+∫[x1→π/2]αcosxdx
=∫[x1→π/2](sinx-αcosx)dxが成り立てばよい。
左辺=(-cosx)[0→x1]+(αsinx)[x1→π/2]
=-cosx1+1+α-αsinx1
右辺=(-cosx-αsinx)[x1→π/2]=-α+cosx1+αsinx1
両辺を等しいとして
αsinx1+cosx1=(1+2α)/2
(ア)を代入して
α^2cosx1+cosx1=(1+2α)/2 → cosx1=(1+2α)/2(1+α^2)
同じく
αsinx1+(1/α)sinx1=(1+2α)/2 → sinx1=α(1+2α)/2(1+α^2)
辺辺二乗和から
cos^2x1+sin^2x1=(1+2α)^2/4(1+α^2)=1
整理して
(1+2α)^2=4(1+α^2)
α=3/4・・・答え

回答No.4

naniwacchi

類題を以下に。
http://okwave.jp/qa/q5258166.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5258166.html

回答No.2

ferien

＞曲線 y= sin x（0≦x≦π/2）……（１）、直線 x=π/2、x軸で囲まれる部分の面積を、
＞曲線 y=α cos x　……（２）が、2等分するようなαの面積を求めよ。
αの値を求めます。グラフを描いて考えて下さい。
面積は、
∫[０～π/2}sinｘｄｘ
＝［-cosｘ］[０～π/2]
＝１
（１）と（２）の交点のｘ座標をｐ（０≦ｐ≦π/2）とすると、
sinｐ＝αcosｐ　……（３）
グラフから、
∫[ｐ～π/2}（sinｘ－αcosｘ）ｄｘ
＝［－cosｘ－αsinｘ］[ｐ～π/2]
＝cosｐ＋αsinｐ－α
＝１／２　になれば良い
cosｐ＋αsinｐ＝（２α＋１）／２……（４）
sin^2ｐ＋cos^2ｐ＝１より、（３）を代入すると、
α^2cos^2ｐ＋cos^2ｐ＝１
cos^2ｐ＝１／（α^2＋１）　（３）より、
sin^2ｐ＝α^2cos^2ｐ＝α^2／（α^2＋１）
ｐの範囲から、cosｐ≧０，sinｐ≧０より、
cosｐ＝１／√（α^2＋１）
sinｐ＝α／√（α^2＋１）（４）へ代入して、
｛１／√（α^2＋１）｝＋｛α^2／√（α^2＋１）｝＝（２α＋１）／２
√（α^2＋１）＝（２α＋１）／２
２√（α^2＋１）＝（２α＋１）
両辺２乗して整理すると、
４＝４α＋１
よって、α＝３／４

になりましたが、どうでしょうか？確認してみて下さい。

回答No.1

151A48

αの「面積」？　　αの値では？

sinxの０からπ/2の積分１

y=sinx と　y=αcosx　の交点のｘ座標θとすると　αcosθ＝sinθ

sinx - αcos x　のθからπ/2　の積分 1/2 より　α(sinθ-1)=(1/2)-cosθ

α=sinθ/cosθ　を代入して整理すると　cosθ＝２（1-sinθ)

sin^2θ＋cos^2 θ＝１に代入して　sinθ　の式にすると

５sin^2θ -8sinθ +3 =0

これの適する解　sinθ＝
　　　　　　　　　　　cosθ＝

∴α＝sinθ/cosθ =

のようになるかとおもいます。