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媒介変数表示による曲線の面積

数IIIの問題で、曲線C:x=cos2θ+3,y=cos2θ+2cosθ-3 (0≦θ≦π)の(x,y)の増減を調べて、概形を描き、曲線Cとx=4で囲まれる図形の面積を求めよ。と言う問題があります。図を描くところまでは出来たのですが、僕の書いた図は、x=4では囲まれないような図形です。描いた図形はxの範囲は2~4でyの範囲は-4~-(9/2)でx=5/2の時に最小値を取るような図形です。僕の間違いを指摘するのはこれだけの情報では難しいと思うので、可能なら、どこが間違ってるのか、あと解法のヒントを教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.2

#1です。各θの値でのx,yの値を示しています。曲線C上のいくつかの点ですが。 θ=0のときのXYの座標が(4,0)、θ=π/4のときXYの座標が(3,約1.6)、θ=π/2のときXYの座標が(2,-4)、θ=πのときXYの座標が(4,-4)となるという意味です。 両端のθ=0とπでXが4となるのでx=4の直線と交差すると判断しました。

exodus55
質問者

お礼

なるほど!分かりました!一つ気になるのはθ=π/4の時、y=2^(1/2)-3なので約-1.6ですよね?ありがとうございました!

その他の回答 (2)

  • repobi
  • ベストアンサー率30% (8/26)
回答No.3

傾いた楕円になりますか? x=cos2θ+3 ⇒ dx/dθ=-2sin2θ=-4sinθcosθ y=cos2θ+2cosθ-3 ⇒ dy/dθ=-2sin2θ-2sinθ=-2sinθ(2cosθ-1) dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)=(2cosθ-1)/2cosθ ∴dy/dx=0 ⇒ cosθ=1/2 ⇒ θ=π/3,2π/3 となりますよ。 あとは、増減表を書いて図を描いてください。 ちゃんとx=4 で囲まれます。

exodus55
質問者

お礼

ありがとうございます。 y=cos2θ+2cosθ-3 ⇒ dy/dθ=-2sin2θ-2sinθ=-2sinθ(2cosθ-1) は y=cos2θ+2cosθ-3 ⇒ dy/dθ=-2sin2θ-2sinθ=-2sinθ(2cosθ+1) ですか?(dx/dy)''も<0と>0があります。

回答No.1

縦長の楕円を右回りに傾けたようです。わたしの計算ではθ=0、π/4、π/2、π x=4、 3、 2、 4 y=0、約1.6、ー4、ー4 だからx=4でかこまれているようです。 解法はcosθ,cos2θの公式を使い(y-x+6)^2=2(cosθ)^2=2(x-2) からyの2つの式を求めその差が面積になります。 あとはxの値域に注意すればよいです。

exodus55
質問者

お礼

ありがとうございます。ただ、 θ=0、π/4、π/2、π x=4、 3、 2、 4 y=0、約1.6、ー4、ー4 はどういうことを表しているんでしょうか?増減表でしょうか?

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