法線の問題です。教えて下さい！

質問

ｘｙ平面上に曲線Ｃ：ｙ＝２分の１×ｘの二乗がある。点ＰにおけるＣの法線とは
Ｐを通り、ＰにおけるＣの接線に垂直な直線のことである。
点（ｔ、２分の１×ｔの二乗）（ｔは０でない）におけるＣの法線をｌｔとする。
点（２√２、ｋ）を通るＣの法線がちょうど２本あるようなｋの値を求めよ。

ｌｔの方程式は求めることが出来たのですが
ここからどうすればいいのかが分かりません。
詳しい解説をよろしくお願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

C：y=(1/2)x^2

より

y'=x

だから(t,(1/2)t^2)における法線の傾きは-1/y'=-1/tで

ｌt：y-(1/2)t^2=-(1/t)(x-t),y=-x/t+1-t^2/2

これが(2√2,k)を通るためにはltの方程式でx=2√2,y=kとして

（☆）k=-2√2/t+1-t^2/2

これを満たす実数tが2つあればよい．

f(t)=-2√2/t+1-t^2/2

とおくと，

f'(t)=2√2/t^2-t={(√2)^3-t^3}/t^2

=(√2-t){(√2)^2+√2t+t^2}/t^2

(√2)^2+√2t+t^2}/t^2>0であるから，

t<√2(t≠0)のときf'(t)>0
√2<tのときf'(t)<0

であるから

極大値f(√2)=-2+1-1=-2

をとります．

t=0付近の振る舞いはｆ(t)≒-2√2/t(|t|≪1)より

t→-0のときf(t)→+∞
t→+0のときf(t)→-∞

t=±∞の振る舞いはｆ(t)≒-t^2/2(|t|≫1)

t→±∞のときf(t)→-∞

となります．

☆⇔「曲線y=f(t)と直線y=kがty平面で異なる2点を共有する」

であるから，図よりk=-2（答）

お礼

詳しい解説ありがとうございました。
すごく助かりました。
本当にありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

その法線が「当該点を通る」ことから何がいえる?