極値の問題です。問題集をといているのですが解説がなくて全くわかりません

質問

z=(x^2+y^2)(x^2+y^2-2x)-y^2について
１．極値を求めてください
２．点P(2,0)における接平面と法線の方程式を求めてください
３．曲線0=(x^2+y^2)(x^2+y^2-2x)-y^2はQ(3/4,3√3/4)のちかくで陰関数を持つことを示してください
４．3.で、曲線上の点Qにおける接線の方程式を求めてください
以上です
多くなってしまいましたがお願いします

回答No.1

info22_

ヒントだけ
1
∂z/∂x=∂z/∂y=0
を満たす(x,y)が停留点候補です。
その停留点候補に対して、極値となるか調べて極値を求めて下さい。
調べる判別法の教科書等に載っているはずです。

(x,y)=(3/2,0)で極小,他に極値なし。

参考URL
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html

２
接平面の求め方も教科書を調べれば分かるはず。
接平面：z=[∂z/∂x](2,0)(x-2)+[∂z/∂y](2,0)y+z(2,0)
法線：(x,y,z)=(2+t[∂z/∂x](2,0),t[∂z/∂y](2,0),z(2,0)-t)
(媒介変数表示形式）

３
曲線の方程式にQの座標を入れてみて下さい。
曲線が点Qを通ることが分かりませんか？

（注意）この曲線は極座標に変換するとr=1+cosθ(θ＝0～2π)
(http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/envelope.htm)
心臓型（外サイクロイド曲線の一種）です。

４
0=(x^2+y^2)(x^2+y^2-2x)-y^2
をxで微分してy'を求め
y'(3/4,3√3/4)=mを求めれば接線の方程式は
y=m(x-3/4)+3√3/4

(計算するとm=0になる)

全くの他力本願ではなく教科書や参考書やネットで調べて自力の解答を補足に書いて下さい。そして行き詰って分からない箇所だけ質問して下さい。

お礼

ありがとうございます！