法線の問題

質問

媒介変数θを用いて表される曲線
(ーπ/2＜θ＜π/2)
・x＝tanθ
・y＝acosθ
をＣとする。ただし、aは正の定数である。

（１）曲線Ｃ上の点Ｐにおける法線が原点（０．０）を通る時、Ｐの座標を求めよ。
という問題で写真にあるとおり解答では
１＜aのとき　点Ｐの座標は（０、a）　（±√（aー１)、√a)
となっていたのですが、１＜aだったらtは０になれないと思うのでですが、なんで（０、a）もあるのでしょうか？
ちなみに曲線Ｃの方程式はｆ(x)と表し、ｆ(x)＝a/√（x^2＋1）となってます
ｐは（ｔ、a/√（t^2＋１））と置いてます
法線の式は写真の通り

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

t^2 + 1 = a だから a > 1 なら t = 0 になれない
と考えているのでしょうが…

t^2 + 1 = a 以前に、法線の式を
y = { (t^2 + 1)^(3/2) / at } (x - t) + a/√(t^2 + 1)
とした時点で、もう t = 0 にはなれないのです。
傾き (t^2 + 1)^(3/2) / at に t = 0 は代入できませんね？

法線がそのような式で表されるのは、t ≠ 0 の場合です。
最初から t = 0 と t ≠ 0 で場合わけをして、
t ≠ 0 の条件下に法線が (0,0) を通る条件を変形すると
t^2 + 1 = a という式が導かれたのです。
この方程式が意味を持つのは、t ≠ 0 の場合だけです。

t = 0 の場合のことは、それとは別ルートで考える必要があり、
その場合、a ≦ 1 であろうが a ＞ 1 であろうが、
法線は (0,0) を通ります。

回答No.2

mister_moonlight

書き込みミス。

（誤）t^2＋１＝aになるが、t＞0から当然にも１＜a　になるだろう。
（正）t^2＋１＝aになるが、t＾2＞0から当然にも１＜a　になるだろう。

回答No.1

mister_moonlight

＞なんで（０、a）もあるのでしょうか？

接線の傾きと法線の傾きの積が　-1　になるが、法線の傾きの分母にtが来るから、t＝0の場合は別に考える必要がある。

＞１＜aだったらtは０になれないと思うのでですが

途中の計算は省略するが、t^2＋１＝aになるが、t＞0から当然にも１＜a　になるだろう。