数学の得意な方

質問

xy平面上の点P(x,y)は0≦t≦πなるtにより
x=4cost-2/5-4cost,y=4sint/5-4cost
と表されている。
tが0≦t≦πの範囲を動くとき点p(x,y)はどのような図形を描くか。
数学の得意な方この問題の解答を教えてください。

お願いします。

回答No.4

info22

>x=(4cos(t)-2)/(5-4cos(t)),y=4sin(t)/(5-4cos(t))
ちゃんと括弧をつけて頂かないと回答者は分かりませんよ。

２つの式からcos(t)とsin(t)を連立方程式として求めると
cos(t)= ? …(1)←求めて下さい。
sin(t)=(3/4)y/(x+1)…(2)
0≦t≦πから
0≦sin(t)≦1,-1≦cos(t)≦1から x+1＞0,0≦y…(3)が出てきます。

(1),(2)をsin(t)^2+cos(t)^2=1の公式に代入すると
xとyの2次の方程式が出てきます。
それを整理すると
(x-2/3)^2+y^2=(4/3)^2…(4)
という円の方程式が出てきます。
(4)に(3)の条件が付いて円（中心(2/3,0),半径4/3）
のy≧0の上半分の半円図形の図形になりますね。
t=0→πに対して始点(2,0)→（反時計周り）→終点(-2/3,0)
と動きますね（xの式でtを動かすと分かる）。

丸投げ問題なので、丸解答すると削除対象になりますから
途中は、自分で考えて下さい。

回答No.3

take_5

なら、もつと簡単。

分母を払うと、
（x＋4）cost＝5x＋2、（y＋4）sint＝5y。
（x＋4）≠0、（y＋4）≠0より、（5x＋2）＾2/（x＋4）＾2＋（5y）＾2/（y＋4）＾2＝1.
但し、0≦t≦πより-1≦cost≦1、0≦sint≦1であるから、0≦（5x＋2）/（x＋4）≦1、-1≦（5y）/（y＋4）≦1。

回答No.2

take_5

＞x=4cost-2/5-4cost

おそらく、この部分は、x＝4cost-2/5-4sintの間違いだろう。
以下は、そのように解釈しての回答。

x＋2/5＝4cost-4cost　‥‥(1)、5y＝4sint-20cost　‥‥(2)
(1)-(2)より、8sint＝5y-x-2/5　‥‥(3)、(1)＋(2)より、-16cost＝x＋2/5＋5y。
(1)＾2＋(2)＾2より（5y-x-2/5）＾2＋（x＋2/5＋5y）＾2/4＝64.
但し、0≦t≦πより-1≦cost≦1、0≦sint≦1であるから、0≦5y-x-2/5≦8、-16≦x＋2/5＋5y≦16。

但し、検算してみてね。

補足

すみません問題の書き方を間違えてしまいました。

x=4cos(t)-2/(5-4cos(t)),y=4sin(t)/(5-4cos(t))
言葉で書くと
xの分母が5-4cos(t)、分子が4cos(t)-2
yの分母が5-4cos(t)、分子が4sin(t)です。

わかりにくい間違った問題の書き方をしてしまい、せっかく解いてくださった方に申し訳ないです。

回答No.1

proto

＞x=4cost-2/5-4cost
これ普通に計算するとx=-2/5になるんですが、問題の写し間違いですか？

また、数式のどこまでがsinやcosの中に入っているのかわからないため、括弧を使って書くことをお勧めします。
　　sint/5 → sin(t)/5? or sin(t/5)?

なんにしてもx=～の式とy=～の式を連立させて、tを消去すればどのような図形を描くかわかると思います。