数学の問題

質問

xy平面上に放物線y=x^2のx≧０の部分をCとし、C上の点P(x,y)と点A(０,a)の間の距離をAPで表す。また、PがC上を動くとき、AP^2を最小にするPをP０とする。P０が原点Oと異なるようなaの範囲を求め、そのときのP０の座標をaを用いて表せ。

という問題がわかりません。
解答よろしくお願いいたします。

回答No.2

gohtraw

ＡＰ＾２＝ｘ＾２＋（ｘ＾２－ａ）＾２
　　　　＝ｘ＾４＋（１－２ａ）ｘ＾２＋ａ＾２
　　　　＝（ｘ＾２＋（１－２ａ）／２）＾２＋ａ＾２－（１－２ａ）＾２／４
これをｘ＾２の二次式と考えると、
ｘ＾２＝－（１－２ａ）／２のときＡＰ＾２は最小値をとります。ＰＯが原点でないということはＡＰ＾２の最小値を与えるｘがゼロでない（ｘ＾２もゼロでない）ということであり、問題文よりｘ＞＝０なので
ー（１－２ａ）／２＞０
これを解けばａの範囲が判ります。

ｘ＾２＝－（１－２ａ）／２のときＡＰ＾２は最小になるのでＰＯの座標は
ｘ＝√（－（１－２ａ）／２）
ｙ＝－（１－２ａ）／２
となります。

回答No.1

info22_

AP^2=x^2+(y-a)^2=x^2+(x^2-a)^2=x^4+(1-2a)x^2+a^2(=f(x^2)とおく)
x^2=t(≧0)とおくと
f(t)=t^2+(1-2a)t+a^2　(t≧0)
Pが原点以外でAP^2を最小にするには　
軸の式t=(2a-1)/2＞0,　即ち a＞1/2であれば良い。
この時、t=x^2=(2a-1)/2で
最小値f(a-(1/2))=a-(1/2)+1/4=a-(1/4)
をとる。

以上から a＞1/2　←答え