数学の問題です。よろしくお願いします。

質問

数学の問題です。よろしくお願いします。

Oを原点とする座標平面上において、放物線y=(x-1)2と直線y=axが2点P,Qで交わっているとき、次の問い
に答えよ
aは定数でありOP<OQである

(1)aのとりうる範囲
(2)a>0のとき、2<OQ/OP<4のときのaの範囲

お願いしますm(_ _)m

回答No.5

mister_moonlight · ベストアンサー

まともにやったら大変な事になる。

Ｐ(α、aα)、Ｑ(β、aβ)とし、ＰとＱからx軸に垂線を下し、その足をＡ(β、0)、Ｂ(α、0)とする。
α＞β＞0　‥‥(1)
△ＯＡＱと△ＯＰＢが相似から、(ＯＢ)/(ＯＡ)＝(ＯＰ)/(ＯＱ)＝(ＰＢ)/(ＱＡ)。
OQ/OP＝kとすると、0＜k＜4で　α＝kβ　‥‥(2)
方程式：x＾2-(a+2)x＋1＝0の2解がαとβから、解と係数より、α＋β＝a+2　‥‥(3)　αβ＝1　‥‥(4)
そこで、0＜k＜4を考えて　(1)と(2)と(4)をαβ平面上に図示すると、双曲線：αβ＝1の上の　Ｍ(1、1)とＮ(1/2、1/2)の間の部分、但し　両端は除く。
その上で、(3)は直線だから、それを動かしてみる。β＝-α＋(a+2)のa+2の値の範囲を定める。
この直線は傾きが　-1だから、双曲線に接する時＜a+2＜点ＭとＮを通るとき、になるだろう。

実際の計算は自分でやって。

お礼

説明とても助かりました！ありがとうございます

回答No.10

noname#118938

(2)について。
　　　　　　　　ax=(x-1)^2
⇔ x^2-(a＋2)x＋1=0

二つの解α,β(0<α<β)とおいて
OQ/OP＝2のときβ=2α 解と係数の関係より2α^2=1, 3α=(a＋2)
即ちα=1/√2, a=(3√2-4)/2

OQ/OP＝4のときB=4α　　同様にこのときα=1/2 a=1/2

ところで、OQ/OPはaについて単調増加する。(グラフ書いて考察。本当は示すのが最もだが、ここでは
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　諸君に納得してもらい省略)
よって2<OQ/OP<4のときでは
(3√2-4)/2<a<1/2

お礼

簡潔でとても分かりやすかったです！
ありがとうございました！

回答No.9

mister_moonlight

2＜k＜4だったんだ、訂正する。何回訂正したっけ？

(最初の解)

Ｍ(1/2、2)、Ｎ(√2、1/√2)に訂正。

(次の解)

√2＜m＜2に訂正。

結果は(計算ミスがなければだが)　1/2＜a＜(3√2-4)/2。
チェックしてみて。。。。。。。我ながら、無残。。。。。。ｗ

お礼

何度も訂正してくださって……ありがとうございます
お手数おかけしてすみません；
助かりました！

回答No.8

mister_moonlight

ミスの罪滅ぼしに別解を書いておく。

0＜k＜4で　α＝kβ　‥‥(2)
方程式：x＾2-(a+2)x＋1＝0の2解がαとβから、解と係数より、α＋β＝a+2　‥‥(3)　αβ＝1　‥‥(4)
(2)と(4)から、α＞0、β＞0より、β＝1/√k、α＝√k　→　a+2＝1/√k＋√kとなる。
√k＝mとすると、0＜k＜4だから　0＜m＜2　。
a+2＝1/m＋mより、0＜m＜2の下で　右辺＝1/m＋mの値の範囲を定めると良い。
判別式でも、グラフでも、(微分はいらないが、下限値は相加平均・相乗平均でも)出るだろう。
確かに、0＜a＜1/2　になる。

お礼

別解まで教えてくださってありがとうございます
理解が深まりました！

回答No.7

mister_moonlight

なんか変だな、と思ったら計算ミス。自分でも、嫌になるね。。。。ｗ

そこで、0＜k＜4を考えて　(1)と(2)と(4)をαβ平面上に図示すると、双曲線：αβ＝1の上の　Ｍ(1、1)とＮ(1/2、2)の間の部分、但し　両端は除く。
その上で、(3)は直線だから、それを動かしてみる。β＝-α＋(a+2)のa+2の値の範囲を定める。
この直線は傾きが　-1だから、点Ｍを通るとき＜a+2＜点Ｎを通るとき、になるだろう。
つまり、2＜a+2＜5/2　→　0＜a＜1/2。

解の公式で、αとβを求めるのだけはやめた方が良い。
いい加減な事を言わずに、自分で実際にやってから書き込んだら良い。

お礼

解き方教えていただいただけで感謝です；；
ありがとうございました！

回答No.6

mister_moonlight

いつもの事ながら、書き込みミス。

(誤)この直線は傾きが　-1だから、双曲線に接する時＜a+2＜点ＭとＮを通るとき、になるだろう。
(正)この直線は傾きが　-1だから、双曲線に接する時≦a+2＜点ＭとＮを通るとき、になるだろう。

お礼

わざわざ訂正してくださってありがとうございました！

回答No.4

x1yobigun

(2) P:(x1,ax1) Q(x2,ax2) と置く。
　　 x1,x2 は2次方程式 x^2 - (a+2)x + 1 = 0 の２解である。

　　　さて、図のような計算から、解の公式を使ってみたらどうだろう。

お礼

画像までつけていただいて……ありがとうございます！

回答No.3

x1yobigun

あ、２点だから　＝　は入らないね。不等号。

お礼

わざわざありがとうござました！

回答No.2

x1yobigun

(1) y=ax, y=(x-1)^2 の交点のx座標を計算する
　　ax = (x-1)^2
x^2 -(a+2)x +1 = 0
これが解を持つことと、判別式が負でないことは同値。
　　D = (-(a+2))^2 - 4 = a^2 + 4a = a(a+4) >= 0
これから a>=0, a<=-4

検算は、y=-4a と放物線の交点を求めると重解（すなわち接線）
　　になることで図形的に可能です。

お礼

分かりやすい説明ありがとうございました！

回答No.1

NMZ1985

y=0のとき、xの値はどうなるか
x=0のとき、yの値はどうなるか

そこから見えてくる放物線と直線の交点をグラフにすれば
あとは、解けたも同然のグラフが完成している。

お礼

ありがとうございます！助かりました！