数学の証明で困ってます

質問

友達と数学の問題を解いていて、どうしても答えが分からなかったので質問です。

(1 + x)^y = 1 / (1 - xy)　ならば解 x = 0 のみであることを示せ。

という問題がどうしても解けなくて悩んでます。
もう3日ほど考えていますが、私は数学が得意ではないので、だいぶ煮詰まってます・・・

どなたか、助言、解答をよろしくお願いいたします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

ご安心ください.

正しくない命題を証明できないのは当然です.

お礼

やっぱり命題に問題があり、知人に出してもらった問題だったので答えはあるか聞いたら、答えはなく、むしろ命題に不備があるということが答えだったと、苦し紛れに言われました。ちょっとひどいですよねｗ

ありがとうございました。

補足

みなさん、丁寧な解説ありがとうございます。

私なりに頑張ってみて、こういうことなのかな？っていう形を作れたので見てみると、証明できないんですね（汗）

皆さんの解説や補足で命題がまずく、証明できないのは理解できました。

ちなみに私は、このような考えに至りました。

５次方程式は代数的に解けないってことだったので、
y ≦ 3 となり、y = 0 の時はNo.3様がおっしゃるようにxによらない値なので範囲から外しました。
つまり　0 ＜ y ≦ 3　の範囲に限定しました。

それから、次元が整数以外では展開がしにくいと思ったので、
先ほどのyの範囲で整数を代入して展開し、整理して、
としていくと頭がｘで整理できる形にどれもなるので解は０のみってことに
力技でやってみるという事をしていました。

当初は対数にしたりして、y = の形の式に直そうとしたのですが、
挫折しました・・・

そして力技という流れです・・・

ちなみにこの力技であれば、どこか違うというか、抜けてる部分があるのは
何となくわかるのですが、後学のためにもよろしければどこが抜けてるかとか教えて頂けませんでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.5

muturajcp

x=-3/2
y=2
のとき
(1+x)^y=(1-3/2)^2=(-1/2)^2=1/4=1/(1+3*2/2)=1/(1-xy)
だから
「0<y≦3,(1+x)^y=1/(1-xy)ならば解x=0のみである」
は成り立ちません

お礼

具体的な例をありがとうございました。

他の方にも書きましたが、問題を出した知人に(ry

３つもサンプルを出して、おかしくない？って聞いたら、あたふたしてました。
そのせいで、別の難問を出されましたが・・・

ありがとうございました。

回答No.4

FT56F001

>正しくない命題を証明できないのは当然です
そうですね。
y=0ならxはどんな値でもよい(x=-1を除く)。
y=-1ならxはどんな値でもよい(x=-1を除く)。
x=-3,y=-3も与式を満たす。
などx=0以外の解はいろいろあります。

お礼

別の具体例を出していただきありがとうございました。

問題を出した知人に、答えを聞くときに命題がおかしい例のサンプルが複数になって、助かりました。

ありがとうございました。

回答No.3

chamiken

例えばy=0のとき
左辺＝(1+x)^y＝1
右辺＝1/(1-xy)＝1
これはどちらもxの値によらない。
よってx=0でなくともy=0ならば与式は成り立つ。
ゆえに命題は正しくない。よって証明も不可能。

ってことをNo.1の方は仰っているかと。

もし出展があれば、間違っていないかをご確認ください。

お礼

解説ありがとうございました。

おかげで、どういうことなのかおバカな私もとっかかりができました。
ありがとうございました。

回答No.2

info22_

例えば
y=-1のとき
1/(1+x)=1/(1+x)
となり、x≠-1の任意のxについて成り立ちます。
なので、
命題「(1 + x)^y = 1 / (1 - xy)　ならば解 x = 0 のみである」
は成り立ちません。
成り立たない命題は証明不可能です。

お礼

問題を出した知人に聞いたら、答えは命題に不備があるということが答えだったと、苦し紛れに言われました。

ありがとうございました。