数(3)・積分の応用で…

質問

明日、黒板にあたることになっちゃった問題が、sin、cosのはいった図形自体をあまり理解してないせいで、本当わかんなくって困ってます。99・青山学院理工のものみたいなんだけど、過去問サイト巡っても、問題しか載ってないし；；丸写しでは絶対かかないけど、苦手な私でもきちんと理解してかけるように、アドバイスお願いしますです(＞＿＜)

問題は、点Pはｘｙｚ空間内を動き、時刻tにおける座標：(6、3cost、1+3sint)
定点A(0,0,1)と点Pとを結ぶ直線APがxy平面と交わる点をQとして
1.Qがxy平面上で描く曲線の方程式
2.Qのy座標が1となる時刻におけるQの動く速さ

APベクトル出してから何をしていいかわかんなくなってます；；
お願いします。

回答No.1

noname#6715 · ベストアンサー

問題は、点Pはｘｙｚ空間内を動き、時刻tにおける座標：(6、3cost、1+3sint)
定点A(0,0,1)と点Pとを結ぶ直線APがxy平面と交わる点をQとして
1.Qがxy平面上で描く曲線の方程式
2.Qのy座標が1となる時刻におけるQの動く速さ

>APベクトル出してから何をしていいかわかんなくなっ
>てます；；

たぶん三角比はわかるはず
というわけでヒントだけ。
方程式で行ってもいいが、ベクトルで行っているのでベクトルで
ベクトルABを以下$AB$と書くことにする

(1)

(　)内を埋めなさい

$x$=(1,0,0)
$y$=(0,1,0)
$z$=(0,0,1)とする。

QはAP上にあるから 実数kを用いて
$AQ$=k$AP$
とおける
から
$OQ$
=k$AP$+(　1　)
となる
これを$x$,$y$,$z$で書くと
=(　3　)$x$+(　4　)$y$+(　5　)$z$・・・・A
一方Qはxy平面上にあるから
実数p,qを用いて
$OQ$=+p$x$+q$y$・・・・・B

A、Bより
(　3　)=p・・・・C
(　4　)=q・・・・D
(　5　)=0・・・・E

これを解く。

するとEよりt=( 6　)
よって
p=(　7　)
q=(　8　)
よって9の座標は
((　9　),(　10　))

お礼

ありがとうございますっっ！！
穴埋め式、やりやすかったですｗｗ
それに、ベクトルに直ったら見たことあって一安心でした♪なんか、空間ベクトルとか、θだと少し身構えちゃって…
答えも出せたし、黒板にもかけましたっ★回答が無かったら白紙で困るところでした;;本当にありがとうございましたっ！！

回答No.6

springside

こんな感じですかね。
（この問題に関しては、sinやcosの入った図形自体というのは全く関係ありません。計算だけで解けます。）

1.ベクトルAPに平行なベクトルの一つは、(2,cos t,sin t)なので、直線APの方程式は、
(x,y,z)=(0,0,1)+s(2,cos t,sin t)
である。(sはパラメーター）
z=0なので、s=(-1)/sin t
よって、
Qのx座標=(-2)/sin t
Qのy座標=-cos t/sin t
これにより、
sin t=-2/x、cos t=2y/xなので、
sin^2t+cos^2t = 4/x^2 + 4y^2/x^2 = 1
よって、Qが描く方程式は、x^2/4 - y^2 = 1（双曲線）

2.Qのy座標が1のとき、-cos t/sin t=1
これと、cos^2t + sin^2t = 1により、sin^2t = cos^2t =1/2（sin t,cos tの連立方程式を解いた。t自体を求める必要はない。）
ベクトルOQ=((-2)/sin t, -cos t/sin t, 0)なので、Qの「速度」は、各成分をtで微分して、(2cos t/sin^2t, 1/sin^2t, 0)となり、「速さ」は、「速度」の大きさだから、
√{(2cos t/sin^2t)^2 + (1/sin^2t)^2}
=(√(4cos^2t+1))/sin^2t
これに、sin^2t = cos^2t =1/2を代入して、求める速さは、2√3

お礼

回答ありがとうございますっっ☆
解いてみたら分かったけど、、本当、計算でとけるんですねぇ；；　見た目で一歩引いてました＾＾；ありがとうございますっ！
2の方は、ｖの公式は今までの問題で上手くつかえてたつもりだけど、この問題で、ｔをもとめずにやる方法は思いつきませんでしたっ!というか、、新発見じゃないけど、楽な解き方ですねぇ♪♪
私も、テストのときに、苦手分野とか難しいのができるようになったらなぁ(笑　もう少し頑張りますっっ
ありがとうございましたっ★

本当に皆さんの回答で助かりました。ありがとうございましたっ！！

回答No.5

noname#6715

再び訂正
>(　5　)=0・・・・E
>Eよりt=(　6　)
Eよりk=(　6　)
--------
(1)続き
ここで
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(　11　)であるから・・・

あとはt,dx/dt,dy/dt,x,yで増減表
(　12　)←増減表
(　13　)←グラフ

(2)
y=1のときt=(　11　)
Qの速さは
√{(dy/dt)^2+(dx/dt)^2}=(　12　)
よってt=(　11　)を代入して
(　13　)

お礼

再度のアドバイス、ありがとうございますっっっ★☆これからも頑張って解きますです；；

回答No.4

ONEONE

Qが線分APをq：1-qに内分するとすれば（0≦q≦1）
OQ↑=qOP↑+(1-q)OA↑

＞Qがxy平面上
ということはOQ↑のz成分が0ということなので
そこからqの値をだし、x,y成分のqを消去します。
sint=0のときはz =0は成り立たないからsint≠0
∴q = -1/3sintとなると思います。

OQ↑ = (-2/sint, -cost/sint, 0)
x = -2/sint
y = -cost/sint
とおいてc^2+s^2=1とか使ってtを消去すればいいです。(c, sはcos, sin)
ただし、0＜x = 6q≦6の範囲です。

2
v(t)↑=(dx/dt, dy/dt, dz/dt)
|v(t)↑| = √{(dx/dt)^2+ (dy/dt)^2+(dz/dt)^2}
今回はｚ成分は0ですけど。
答えは√6かな？

お礼

アドバイスありがとうございますっ☆★
本当に困ってたので助かりましたっ。
あ…2、2√3でした♪

ありがとうございましたっ

回答No.3

noname#6715

ごめんなさい。
何かいろいろ間違ってそうなので
計算してます

お礼

再度のアドバイス、ありがとうございますっっっ☆

回答No.2

noname#6715

訂正
((　9　),(　10　))
((　9　),(　10　),0)

お礼

再度のアドバイス、ありがとうございますっっっ★