数III、複素数平面上の図形に関する問題です。

質問

数III、複素数平面上の図形に関する問題です。

「複素数zの実部をRezで表す。w=1/zとする。
(1)|z|>1かつRez<1/2を満たすzの領域を複素数平面上に図示せよ。
(2)点zがRez=1/2を満たしながら動くとき、点wが動く曲線を複素数平面上に図示せよ。
(3)点zが(1)で求めた領域を動くとき、点wが動く領域を複素数平面上に図示せよ。」

答えは画像にある通りです。考え方・解き方を教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1 です。

ANo.1の補足コメントの回答
(1)Re(1/(u+iv))=u/(u^2+v^2)
とは、どのような計算でそうなったのでしょうか？

Re(1/(u+iv))=Re((u-iv)/((u+iv)(u-iv)))=Re((u-iv)/(u^2+v^2))=u/(u^2+v^2)

(2)|1/w|=1/|w|のように、1の絶対値記号を断りなく外しても大丈夫なのはなぜでしょうか？

|1/w|=|1/(u+iv)|=|(u-iv)/(u^2+v^2)|=|u-iv|/(u^2+v^2)=√(u^2+v^2)/(u^2+v^2)
=1/√(u^2+v^2)=1/|(u+iv)|=1/|w|

(3)|w|≠0、(u,v)≠(0,0)のように断りを入れるのはなぜでしょうか？

『|z|>1かつRez<1/2』,『w=1/z 』の関係が成り立つには
z=x+iy≠0 ((x,y)≠(0,0)), w=u+iv≠0 ((u,v)≠(0,0))
点wに原点w=0は含まれない。

(4)(u-1)^2+v^2=1を(|w-1|=1)と表せるのはなぜでしょうか？

ガウス平面と複素平面における同じ円を表す式ですから慣れて覚えて下さい。
(|w-1|=1)の左辺|w-1|は 点wと点1+i0の距離を表しています。
右辺の1は点(1+i0)からの距離(半径)が1であることを表します。
つまり点(1+l0)を中心とする半径 1 の円を表す式と言えます。
|w-1|=|u-1+iv|=√((u-1)^2+v^2)=1 → (u-1)^2+v^2=1

(5)最終的にu,vで出た式を横x軸縦y軸の複素数平面上に図示しても大丈夫でしょうか？

大丈夫です。
複素数平面では縦軸が虚軸, 横軸が実軸となります。
変数として x,yをt使う場合にはz=x+iy, u,v をt使う場合にはw=u+iv と複素数平面上に書くようにしましょう。

お礼

ありがとうございます、本当に助かりました。

回答No.1

info222_

z=x`iy, w=u+iw と置いてガウス座標で考えればいいでしょう
(1)
|z|=√(x^2+y^2)>1 ⇒ x^2+y^2>1
Rez=x<1/2 ⇒ x<1/2

(2)
Rez=x=1/2=Re(1/w)=Re(1/(u+iv))=u/(u^2+v^2) ⇒ u^2+v^2=2u
⇒ (u-1)^2+v^2=1 ( |w-1|=1)

(3)
|z|>1 ⇒ |1/w|=1/|w|>1 ⇒ |w|<1 (|w|≠0) ⇒ u^2+v^2<1 ((u,v)≠(0,0))

Rez<1/2 ⇒ Re(1/w)=u/(u^2+v^2)<1/2 ⇒ 2u<u^2+v^2
⇒ (u-1)^2+v^2>1 ( |w-1|>1)

何が分からないのか具体的にお書きください。

補足

ご回答ありがとうございます。
申し訳ありませんでした、どのように解けばいいのか皆目見当もつかない状態だったので質問の仕方が曖昧になってしまいました。~_~;
info222様の回答を受けて、
わからなかった所を書き出してみます。
(1)Re(1/(u+iv))=u/(u^2+v^2)
とは、どのような計算でそうなったのでしょうか？
(2)|1/w|=1/|w|のように、1の絶対値記号を断りなく外しても大丈夫なのはなぜでしょうか？
(3)|w|≠0、(u,v)≠(0,0)のように断りを入れるのはなぜでしょうか？
(4)(u-1)^2+v^2=1を(|w-1|=1)と表せるのはなぜでしょうか？
(5)最終的にu,vで出た式を横x軸縦y軸の複素数平面上に図示しても大丈夫でしょうか？

これらの質問は全て私の理解不足が招いたものであり、info222様のご回答に不信を抱いているわけではありません。(・・;)
重ね重ね申し訳ないです、お手数でなければ、全てでなくても良いので可能な範囲でお答えいただけるも嬉しいです。