複素数の証明について

質問

z1=r1(cosθ1+isinθ1)、z2=r2(cosθ2+isinθ2)のとき、
ｚ1/ｚ2＝ｒ1/ｒ2*[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]
を証明したいのですが、どうやって証明したらよいでしょうか？
加法定理はわかるので、加法定理を使う前のところまで教えて頂けたら嬉しいです。

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３点Ａ(α)、Ｂ(β)、Ｃ(γ)とするとき、
(γ-α)/(β－α)＝ｋ(cosθ+isinθ)が成り立つ時、
θ＝arg(γ-α/β-α)が成り立つのはどうやって証明したらよいでしょうか？

どちらかだけでもよいので、よろしくお願いします。

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

＃１さんの補足（余計なお世話かも）

1/(cosθ+isinθ)＝cosθ－ｉsinθ　分母の有理化の要領
もっといえば
＝cos(-θ)＋ｉsin(-θ)
まで変形しても良いでしょう。

これで割り算が掛け算で出来ます。

後半
＞＞(γ-α)/(β－α)＝ｋ(cosθ+isinθ)が成り立つ時、
θ＝arg(γ-α/β-α)が成り立つのはどうやって証明したらよいでしょうか？

その等式が成り立ってしまうのなら
これは当たり前過ぎない？
arg｛(γ-α)/(β－α)｝＝arg｛ｋ(cosθ+isinθ)｝＝θ
なので
何か別のことを聞きたかったのではないですか？
θ＝∠BAC＝ arg｛(γ-α)/(β－α)｝とか。

お礼

どうもありがとうございます。
有利化はその容量でやってみます。

後半の方ですが、
＞何か別のことを聞きたかったのではないですか？
θ＝∠BAC＝ arg｛(γ-α)/(β－α)｝とか。

これが聞きたかったんです！！
ちょっとよくわからないのですが、
＞θ＝∠BAC＝ arg｛(γ-α)/(β－α)｝
と
＞θ＝arg(γ-α/β-α)
って、どこが違うのでしょうか？
なんだかよくわからなくなってきてしまいました。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#24477

いえいえ、何をθにするか書いてなかったので（なんとなく
分かりますが）確認したかっただけです。

Ａが原点になるように平行移動します。
Ａ’(0)，Ｂ’(β－α)，Ｃ’(γ－α)
になります。
ｘ軸とA'C'のなす角をθ1,ｘ軸とA'B'のなす角をθ2
とすれば、前半部分が利用できます。

お礼

ごめんなさい、ばかなことを聞きました、よくわかってない証拠ですね。
よく考えたらわかりました。
ありがとうございました。

回答No.1

Largo_sp

最初の問題は、分母を有利化すれば、分母は１になりますので、
あとは、実部と虚部に分けて加法定理をつかえば良いですね

後のほうは、αを原点と考えると、
最初の問題がベクトル表記でつかえますね…
z1=γ－α z2=βーαとすると、
θ=θ1-θ2=arg(z1/z2).....ですよね

お礼

前半のほうわわかりました！
後半はもうちょと考えてみます。
ありがとうございました。