複素数、共役複素数の証明

質問

はじめまして。いくら考えても証明できないので分かる方
いましたら解説の方よろしくお願いします。

複素数として、｜ｚ１｜を共役複素数とする時、
(1)｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜と｜ｚ１・ｚ２｜＝｜ｚ１｜・｜ｚ２｜ の証明せよ。
(2)二次方程式の一解をαとすると他解はβになる事を証明 せよ

Z1の共役複素数をa-bi，a+biとおく(a,bは実数，iは虚数単位とする)．

１）｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜の証明
左辺＝｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜a-bi+a+bi｜＝|2a|=2a
右辺＝｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜＝｜a-bi｜＋｜a+bi｜＝2a
左辺＝右辺のため，｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜

２）｜ｚ１・ｚ２｜＝｜ｚ１｜・｜ｚ２｜の証明
左辺＝｜ｚ１・ｚ２｜＝｜(a-bi)(a+bi)｜＝|a2+b2|= a2+b2
右辺＝｜ｚ１｜・｜ｚ２｜＝｜a-bi｜・｜a+bi｜＝a2+b2
左辺＝右辺のため，｜ｚ１・ｚ２｜＝｜ｚ１｜・｜ｚ２｜

(1)はこの様にして何とか解けたのですが、(2)に関してさっぱりわかりません。よろしければ(2)の問題の解説をお願いします。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

言葉遣いから奇妙で、誰かが複素数を全く知らないことだけは伝わってきます。
社長氏が出題なさった時点から、こんな文章だったのでしょうか。
それとも、質問氏の勘違いでしょうか。

第一に、「共役複素数」というのは、二つの複素数の間の関係を表す言葉です。
「αはβの共役複素数」とか「αとβは互いに共役(な複素数)」とか使います。
実部が共通で、虚部の符号だけが異なる複素数の対のことを「共役複素数」と
言うので、a-bi と a+bi (a,bは実数、iは虚数単位) が正に「互いに共役」です。
「｜ｚ１｜を共役複素数とする時」も、
「ｚ１の共役複素数をa-bi，a+biとおく」も、文章が意味をなしません。

何とか解釈を試みると、一案として…
(1) 複素数Ｚの共役複素数を｜ｚ｜と書くとき、
｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜と｜ｚ１・ｚ２｜＝｜ｚ１｜・｜ｚ２｜ の証明せよ。
…と受け取れなくもありません。もし、そのつもりならば、
Z1 = (a1) + (b1) i,　Z2 = (a2) + (b2) i,　(a1,b1,a2,b2は実数、iは虚数単位)
と置いて式の両辺を計算してみれば、証明することができるでしょう。

ただし、通常、｜ｚ｜は複素数の「絶対値」を表す記号なので、
そのような気ままな記号の使い方は、誤解の基です。
絶対値については、｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜は成り立ちません。

ところで、御社では、業務上このような数学を使うのでしょうか。

補足

解説ありがとうございます。
問題はそのままを書き写してますので間違えは無いとは思いますが、
もしかすると勘違いをしていたのかもしれません。

後、複素数は仕事先が工場なので使うことはありません。
頭の体操と言われましたが、実際の所よく意図が分からない
のが本音です。

回答No.5

take_5

＞１）｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜の証明

｜ｚ1＋ｚ2｜≦｜ｚ1｜＋｜ｚ2｜の証明の間違いではないか？
これなら良く知られていることで、ｚ1とｚ2が（実数でも）、共役の複素数でない2つの複素数でも成立する。

回答No.3

take_5

＞(1)はこの様にして何とか解けたのですが、

良く見たら、まったく違ってる。
複素数の場合の絶対値の意味を理解していない。何より、問題が可笑しい。

＞複素数として、｜ｚ１｜を共役複素数とする時、
＞右辺＝｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜＝｜a-bi｜＋｜a+bi｜＝2a

なんだ、これは。

補足

出された問題を書き写して、調べれる範囲で調べた結果ですが、
調べても意味がよく分からないのが本音です。

これは、現在勤めている会社の社長に問題を出されたのですが、
高校時代に複素数など習っていないので解ける以前に
意味すら分からず、それを説明しても頭の体操になるから何とかしろの一点ばりで。

会社の先輩に聞けば分かると言いますが、先輩も複素数なんて知らないと言われ、かといって、それを社長に言えば先輩に迷惑がかかるので
どうしたものかと思っています。

回答No.2

take_5

面倒なんで、x＾2の係数を1にする。。。。。。笑

x＾2＋px＋q＝0　‥‥(1)　(pとqは共に実数)の1つの解をα＝a+biとおく(a、bは実数、iは虚数単位とする)．
α＝a+biを(1)に代入すると、(a＾2-b＾2＋pa＋q)＋i(pb+2ab)＝0.
文字は全て実数から、a＾2-b＾2＋pa＋q＝0　‥‥(2)、pb+2ab＝0　‥‥(3).
当然b≠0から、(3)よりp＝-2a。これを(2)に代入すると、q＝a＾2＋b＾2.
以上から、(1)はx＾2＋px＋q＝x＾2-2ax＋a＾2＋b＾2＝0であるから、これを解くと、x＝a-bi，a+biとなる。
つまり、a+biを解に持つ実数係数の2次方程式は、その共役複素数：a-biも解に持つ。

他にも方法があるが、一番基本的方法で。

補足

説明ありがとうございます。

どうも数学は昔から苦手で、出された時はどうしようかと
思いましたがこれで何とかなりそうです。

ただ、これからもこういうことがあると思うと少し嫌な気分に
なりますね。この社長。どうも人を小馬鹿にして楽しんでると言う気が
してこなくもないです。

回答No.1

Ichitsubo

(2)の問題にはαとβが複素共役であるという前提がありませんか？

普通に二次方程式ax^2+bx+c=0の解を求めてください。(a≠0)
そうすると一歩前に開けるでしょう。

補足

二次方程式は学びましたが、もうだいぶ昔の事なので
正直な所よく覚えてません。しかし、今後も数学の問題を出される
可能性があるので地道に勉強しようかと思います。

アドバイスありがとうございました。