図形への応用2 231

質問

実数a,bを係数とするxについての2次方程式x^2+ax+b=0が虚数解zをもつとき、次の問に答えよ。
(1)zに共役な複素数zバーもx^2+ax+b=0の解であることを示せ。
(2)a,bをz,zバーを用いて表せ。
(3)b-a≦1をみたすとき、点zの存在範囲を複素数平面上に図示せよ。
(4)点zが(3)で求めた存在範囲を動くとき、ω=1/zで定まる点ωの存在範囲を複素数平面上に図示せよ。

この問題を解いてください。お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1)
以下、zの共役複素数をz’のように表す。
zが与えられた二次方程式の解なので
z^2 + az + b = 0
両辺の共役複素数を考えて
(z^2 + az + b)’ = (0)’
(z^2)’ + (az)’ + (b)’ = (0)’
{ (z)’ }^2 + (a)’ (z)’ + (b)’ = (0)’
ここで、a,b,0は実数なので
{ (z)’ }^2 + a (z)’ + b = 0
この等式より、z’も与えられた二次方程式の解であるといえる。

(2)
二次方程式の解と係数の関係より
z + z’ = -a , z z’ = b
よって
a = - (z + z’) , b = z z’ = | z |^2

(3)
b - a = z z’ + (z + z’) = (z - 1) (z’ - 1) - 1
これと b - a ≦ 1 より
(z - 1) (z’ - 1) ≦ 2 …(*)
(z - 1) (z - 1)’ ≦ 2
| z - 1 |^2 ≦ 2
| z - 1 | ≦ √2
よってzの存在範囲は「点(1)を中心とする半径√2の円の周および内部」である。

(4)
(z ≠ 0として解いていく)
w = 1/z より z = 1/w （w≠0）である。
z = 1/w を (3) で得られた式 (*) に代入して
{ (1/w) - 1 } { (1/w)’ - 1 } ≦ 2
両辺に w w’ = | w |^2 > 0 を掛けて
(1 - w) (1 - w’) ≦ 2 w w’
- w w’ - (w + w’) + 1 ≦ 0
w w’ + (w + w’) - 1 ≧ 0
(w + 1) (w’ + 1) ≧ 2
(w + 1) (w + 1)’ ≧ 2
| w + 1 |^2 ≧ 2
| w - (-1) | ≧ √2
よって存在範囲は「点(-1)を中心とする半径√2の円の周および外部」である。

お礼

ありがとうございました。