図形への応用1 216

質問

複素数平面上で、Oでない複素数zを表す点をAとする。
複素数(1+i)z,z/(1+i)を表す点をそれぞれB,Cとし、原点をOとする。
(1)角BOCを求めよ。
(2)四角形OBACの面積をzを用いて表せ。
(3)四角形OBACの対角線OAとBCの交点を表す複素数をzを用いて表せ。

この問題を解いてください。お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1)
{ (1 + i) z } / { z / (1 + i) } = (1 + i)^2 = 2i
= 2 { cos(π/2) + i sin(π/2) }
よって
∠BOC = π/2

(2)
1 + i = √2 { cos(π/4) + i sin(π/4) }
なので、
三角形OABはOBを斜辺とする直角二等辺三角形である。その面積は
(1/2) OA^2 = (1/2) | z |^2
また、三角形OBCはOAを斜辺とする直角二等辺三角形である。その面積は
(1/2) OC^2 = (1/2) (OA/√2)^2 = (1/4) OA^2 = (1/4) | z |^2
よって四角形の面積は
(3/4) | z |^2

(3)
OB // AC , かつ OB : AC = √2 : (1/√2) = 2 : 1
とわかる。
対角線の交点をDとすると
DはOAを 2 : 1 に内分する点であり、その座標は (2/3) z

お礼

ありがとうございました。