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図形への応用1 213

複素平面上で複素数α,βの表す点をそれぞれA,Bとする。このとき、三角形OABが正三角形であるための必要十分条件は α≠0 かつ　α^2+β^2=αβ であることを証明せよ。ただし、Oは原点とする。 この問題を解いてください。お願いします。

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回答No.1

Oを中心にして、点Aを±π/3回転させると点Bになることから β = α { cos(±π/3) + i sin(±π/3) } （複号同順） α = 0 のとき AとOが一致して三角形にならないので α ≠ 0 である。 両辺を α で割って β/α = cos(±π/3) + i sin(±π/3) ここで cos(±π/3) + i sin(±π/3) = (1/2) ± (√3/2)i この２つの複素数は、二次方程式 z^2 - z + 1 = 0 の２つの解である。（解と係数の関係より） よって (β/α)^2 - (β/α) + 1 = 0 両辺に α^2 をかけて β^2 - αβ + α^2 = 0 よって α^2 + β^2 = αβ とわかる。

Hunter7158
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