図形への応用1 213

質問

複素平面上で複素数α,βの表す点をそれぞれA,Bとする。このとき、三角形OABが正三角形であるための必要十分条件は
α≠0 かつ　α^2+β^2=αβ
であることを証明せよ。ただし、Oは原点とする。

この問題を解いてください。お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

Oを中心にして、点Aを±π/3回転させると点Bになることから
β = α { cos(±π/3) + i sin(±π/3) } （複号同順）
α = 0 のとき AとOが一致して三角形にならないので α ≠ 0 である。
両辺を α で割って
β/α = cos(±π/3) + i sin(±π/3)
ここで
cos(±π/3) + i sin(±π/3) = (1/2) ± (√3/2)i
この２つの複素数は、二次方程式
z^2 - z + 1 = 0
の２つの解である。（解と係数の関係より）
よって
(β/α)^2 - (β/α) + 1 = 0
両辺に α^2 をかけて
β^2 - αβ + α^2 = 0
よって
α^2 + β^2 = αβ
とわかる。

お礼

ありがとうございました。