空間図形

質問

xyz平面において、原点Ｏを中心とする半径1の球Pと点A（3,0,0）を考える。
y=0における平面において、
点Aを通る直線と円との接点のうちz>0にあるものを点Hとし、
直線AH上にあり、かつ∠AOC=120°となる点Cを定める。
線分AC上にありOB＝1となる点Bをおく。

(1)OCの長さを求めよ。

これはy=0となる平面において、正弦定理を用いて
OC＝6(2√(6)+1)/23
と分かったのですが

(2)点Bを通りAOBのある平面に垂直な直線をLとすると、
点Aから見て球に隠れて見えない部分のLの長さを求めよ。

これが分かりません。
分かる方居ましたら宜しくお願いします。

回答No.4

debut · ベストアンサー

xz平面で、ＡＣと、Ｂを通りz軸に平行な直線の交点を
求めると、そのz座標は7√2/8。
また、Ｂの座標は（-1/2,√3/2)であり、新たにx軸に垂直
な平面x=-1/2で考えれば、求める長さは、半径7√2/8の円
（中心は(-1/2,0,0)）が直線Ｌを切り取る長さになって、
三平方の定理から、求める長さの1/2をｘとすれば
ｘ^2=(7√2/8)^2-(√3/2)^2=5√2/8
よって、求める長さは5√2/4となりました。
（わかりにくいかも）

お礼

解答ありがとうございます。良く分かりました！
x=-1/2平面を考えて三平方の定理で解くのですね。

1つ疑問ですが
＞そのz座標は7√2/8
この値はどうやって出されましたか？

回答No.9

ka1234

No.5です。
＞三角形をx軸を基準に回転させた形ですよね？
そうです。

＞AO・AXで円錐の面の方程式が求まるのですか？
そうです。ここでは細かく説明出来ないのが残念ですが、
「円錐は内積」「円柱は外積」です。詳しい人にお聞き下さい。

＞y座標だけが出るのはなぜですか？
[1]を[3]でカットすると、底面の円周の方程式が得られます。（これを[4]とする）
それを[2]でカットすると、[4]の円周と直線Lとの交点となります。
座標で言うと、[4]の円周（yとzの方程式）のz座標が√3/2である2点が求まります。

解法の本質は、直線Lを平面[2]かつ平面[3]と捉える所にあります。
その方がかえって易しいのは、興味深いと思いませんか。

お礼

解答ありがとうございます。
円錐の方程式は高校の範囲内ではないようなので
今度詳しく調べてみます。

＞底面の円周の方程式が得られます
底面の中身も含むと思っていました。
側面と底面の周だけなら内積で表せるのは大体想像できます。

＞興味深いと思いませんか
自分頭が良くなくていつも地味な解答ばかりしか書けないので
エレガントな解法を書いてみたいと思うんですが
なかなか難しいです。

回答No.8

tecchan22

No６です。

よく見たら、No３とほとんど同じ解き方みたいですね。

さらに、No４の方が、ずっと簡単な初等的な解き方ですね。

へこみました。
もう寝ます。

お礼

こんばんは。
正直いうとNo.3は難しくて分からなかったのですが
No.6は理解できたので、同じ解法なら良かったです。
おやすみなさい。

回答No.7

debut

No4です。
そのｚ座標は、ｘｚ平面の図で、
Ｂを通るｚ軸に平行な直線とＡＣ、ｘ軸との交点を
それぞれＰ，Ｑとすれば、△ＡＰＱ∽△ＡＯ Ｈです。
ＡＱ＝ＡＯ＋Ｏ Ｑ＝３＋1/2＝7/2。
ＡＯ＝３，Ｏ Ｈ＝１より、三平方でＡＨ＝2√2。
ＰＱ：ＡＱ＝Ｏ Ｈ：ＡＨ
ＰＱ：7/2＝１：2√2
∴ＰＱ＝7√2/8　です。

あ、さっきの回答でｘ^2から最後に＝5√2/8と書いて
しまいましたが、これは
ｘ^2=(7√2/8)^2-(√3/2)^2=50/64　∴ｘ=5√2/8
と書くつもりでした。

それから、No3のかたの回答は最後にAN^2=8からAN=2√2
とするのを忘れているようで、そうすれば結果は同じに
なります。

お礼

解答ありがとうございます。
なるほど三角形の合同条件使うんですね。
解答書き上げることが出来ました＾＾

回答No.6

tecchan22

では僕は、なるべく初等的に解いてみます。図が書けないので、概略だけ説明しますが、

まず、ｘｚ平面で切った図は描いていますよね？
点Ｂは(－1/2,√3/2)ですね。直線Ｌは、実際には点Ｂを通って、この平面に突き刺さっているわけです。

さて、点Ａから直線Ｌを見る場合、その視線は、点Ａと直線Ｌを含む
平面（αとおく）上にありますよね。
αは、直線ＡＢを含み、ｘｚ平面に垂直な平面ですね。この平面αで切った図を、また別に描きます。

すると、直線Ｌに円（球の切り口）が点Ｂで接している図になります。（少し離れて点Ａあり。ＡＢ⊥α。勿論円の中心はＡＢ上）

その円の中心は、最初のｘｚ平面図において、原点Ｏから直線ＡＢに
おろした垂線の足ですよね。これを点Ｋとおきます。
すると、ＯＫの長さはｘｚ平面図で計算でき、（点と直線の距離の公式）、そこから、αで切ったときの切り口の円の半径（ＢＫ）が出ます。ＡＫも求まります。

それをαで切った図に書き込みます。ちなみに（ＯＫ＝3√3/2√13）,ＢＫ＝5/2√13,ＡＫ＝21/2√13ですね。

さて、球に隠れて見えない部分は、平面αにおいて、Ａから円に二本の
接線を引いて出来る、二等辺三角形の底辺の部分ですね。（分かりますか？）

これは、内接円となった切り口の円の半径が、上のＢＫの値であることから、相似を使って求まります。（半分を求めて二倍）
答えはNo５の方の通りです。

最初に点と直線の距離の公式を使いましたが、そこも相似で出せるので、三平方の定理と相似だけから計算できます。
そうすれば中学生の知識で納まる解答になります。

お礼

解答ありがとうございます。
これなら多少難しいですが中学レベルで解けました。

回答No.5

ka1234

こんにちは。
空間座標の知識を使って解いてみます。

[概略]
定点Aから見て、球Pに隠れて見えなくなるのは、円錐の内部ということ
になります。その円錐の底面が点Bを通るようにすれば求まります。

円錐面上の点をX(x,y,z)とおくと、円錐面の方程式はベクトル表示で、
AO・AX=|AO||AX|cos∠OAC である。

この式に、A(3,0,0), cos∠OAC=2√2/3を代入し整理すると、
(x-3)^2=8y^2+8z^2・・・[1] となる。

後はこの円錐面を点Bを通る平面で2回カットすれば求まります。
B(-1/2,√3/2,0) より、
平面x=-1/2・・・[2] と平面z=√3/2・・・[3]
となるので、[1][2][3]を連立すると、y=±5√2/8
従って、線分の長さは、（答え）5√2/4　となります。

[解説]
[1]を[2]でカットすると円錐の底面が定まります。
その底面上にLはあります。
更に[3]でカットすると、円盤がLによってカットされた弦が求まります。
空間図形の基本が分かっているかどうか確認する良問ですね。

お礼

解答ありがとうございます。
円錐とはxz平面において点Aを通る円の接線2つを側面としx=-1/2を底面とする三角形をx軸を基準に回転させた形ですよね？

>円錐面上の点をX(x,y,z)とおくと、円錐面の方程式はベクトル表示で、
>AO・AX=|AO||AX|cos∠OAC である。
とありますが、AO・AXで円錐の面の方程式が求まるのですか？

最後に、[1]で円錐の表面の方程式が出来、
[2]で円錐の底面の方程式が出来ますが、
これを[3]の面で切り取ると求める直線の方程式が
直接出てくるような気がするのですが底面の端2箇所の
y座標だけが出るのはなぜですか？

細かく聞いてすいませんが良ければお願いします。

回答No.3

Meowth

ABと直線をL含む平面を考える。
B(-1/2.0.√3/2)
ベクトルBA=(7/2,0,-√3/2)
AB=√52/2
平面AB：√3(x-3)+7z=0
この平面で球を切り取とってできる切断面の円の
中心をO'とする。
OO'は原点０と平面の距離だから、
OO'=3√3/√52
OO'^2=27/52
半径r=O'Bとする。
r^2=O'B＾2=1-OO'^2=25/52
r=O'B=5/√52
AO'=AB-O'B=√52/2-5/√52=21/√52
AからO’への接点をNとして、
AN^2=AO'^2-r^2=441/52-25/52=416/52=8
接線AN'とLの交点をPとすると、
BP：AB==ｒ：AN
BP：√52/2=5/√52：8
BP=√52/2*5/√52/8=5/16
求める長さは個の2倍で、5/8

などが三平方の定理と相似で求まる。
（途中の計算はまちがってるかも
ひたすらめんどくさいだけ）

お礼

解答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.2

oldperson

> 線分AC上にありOB＝1となる点Bをおく。

線分OC上にありOB＝1となる点Bをおく。
の間違いではありませんか。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
その通りです。

回答No.1

Meowth

線分AC上にありOB＝1となる点Bをおく。
とBとHは同一の点ですか。

お礼

すいません間違えました。

(誤)線分AC上にありOB＝1となる点Bをおく。
(正)線分OC上にありOB＝1となる点Bをおく。

です。失礼しました。