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空間図形です。

空間上に4点O,A、B,Cがあり、OA=3、OB=OC=4 ∠BOC=∠COA=∠AOB=π/ 3であるとき3点A、B、Cを通る平面に垂線OHをおろす。直線CHと直線ABの交点をDとするとき、長さの比CH:HD、AD:DBをそれぞれ求めよ。という問題ですが、よろしくお願いします。

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  • 回答No.2
  • yyssaa
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>ベクトル(↑)を使った解法 ↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑c、AD:DB=t:1-t(0≦t≦1) HD:CH=s:1-s(0≦s≦1)とすると ↑OA+t↑AB+↑DC=↑OC ↑AB=↑b-↑aだから↑DC=(t-1)↑a-t↑b+↑c ↑OH=↑OA+t↑AB+s↑DC=↑a+t(↑b-↑a)+s{(t-1)↑a-t↑b+↑c} =(1+st-s-t)↑a+(1-s)t↑b+s↑c ↑OH⊥↑ABだからベクトルのスカラー積を↑・↑で表すと ↑OH・↑AB=0、上式を代入して計算 ↑OH・↑AB={(1+st-s-t)↑a+(1-s)t↑b+s↑c}・(↑b-↑a) =(1+st-s-t)↑a・↑b+(1-s)t↑b・↑b+s↑c・↑b -(1+st-s-t)↑a・↑a-(1-s)t↑b・↑a-s↑c・↑a=0 ここで↑a・↑a=|↑a|^2=9、↑b・↑b=|↑b|^2=16 ↑a・↑b=↑b・↑a=|↑b|*|↑a|cos∠AOB=4*3*cosπ/3=6 ↑c・↑b=|↑c|*|↑b|cos∠BOC=4*4*cosπ/3=8 ↑c・↑a=|↑c|*|↑a|cos∠COA=4*3*cosπ/3=6を代入 ↑OH・↑AB =(1+st-s-t)*6+(1-s)t*16+s*8-(1+st-s-t)*9-(1-s)t*6-s*6=0 整理して5s+13t-13st-3=0・・・・・(ア) 同様に ↑OH⊥↑BC、↑BC=↑c-b↑だから ↑OH・↑BC={(1+st-s-t)↑a+(1-s)t↑b+s↑c}・(↑c-b↑) =(1+st-s-t)↑a・↑c+(1-s)t↑b・↑c+s↑c・↑c -(1+st-s-t)↑a・↑b-(1-s)t↑b・↑b-s↑c・↑b=0 ここで↑a・↑c=↑c・↑a=6、↑b・↑c=↑c・↑b=8 ↑c・↑c=|↑c|^2=16、と上式を代入 ↑OH・↑BC=(1+st-s-t)*6+(1-s)t*8+s*16 -(1+st-s-t)*6-(1-s)t*16-s*8=0 整理してs-t+st=0・・・・・(イ) (ア)(イ)を連立で解いてt=1/5、s=1/6 よって、AD:DB=t:1-t=(1/5):(1-1/5)=(1/5):(4/5)=1:4 HD:CH=s:1-s=(1/6):(1-1/6)=(1/6):(5/6)=1:5 CH:HD=5:1、AD:DB=1:4・・・答

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  • 回答No.1
  • yyssaa
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>ベクトルを使わずに解くと △OBCは正三角形だからBC=4、 余弦定理によりAB^2=3^2+4^2-2*3*4cosπ/3=13、AB=√13 △OAB∽△OACだからAC=AB=√13 BCの中点をEとするとOE=2√3 △ABEで三平方の定理によりAE^2=AB^2-BE^2=13-4=9、AE=3 △OAEは四面体OABCを二等分するので、面OAEと面ABCは直交 するので、点HはAE上の点であり、OH⊥AE。 △OHEでOH^2+HE^2=OE^2=12 △OAHでOH^2+AH^2=OH^2+(AE-HE)^2=OH^2+(3-HE)^2=OA^2=9 両式を連立で解いてHE=2。AH=AE-HE=3-2=1。 △ABCにメラニウスの定理を適用すると (AD/DB)*(BC/CE)*(HE/AH)=1だから(AD/DB)*(4/2)*(2/1)=1 よりAD/DB=1/4・・・・・(1) 同様に(CE/EB)*(BA/AD)*(DH/HC)=1だから (2/2)*(5/1)*(DH/HC)=1よりDH/HC=1/5・・・・・(2) (2)(1)よりCH:HD=5:1、AD:DB=1:4・・・答

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質問者からのお礼

ありがとうございます。心から感謝です。2つの解法を参考にさせて頂きます。

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