複素数の問題です

質問

α^はαのバーのつもりで使っています。(β／α)^は（　）全体にバーがかかっているという意味です。他に書き方があるんですかね。。。
それで、α,β,Ｏは複素数平面の三角形の頂点をあらわしていてＯは原点にあるんですが、
α^ β - αβ^＝０が成り立たないということを表したいのですが、解答ではαα^で両辺を割って、（β／α）＝（β／α）^となって、β／αが実数となり、αβは一直線上にない（三角形をなす）ことに反するとして証明しているのですが、下にある僕のやり方では無理ですか？途中で詰まってしまったのですが・・・。
α^ β - αβ^＝０
⇔α^ β ＝ (α^β)^
よって、α^ βが実数となる。・・・・
ここから先どのようにすればいいのですか？

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

＞Im(α^ β)って(α^ β)の虚部という理解で良いんですよね？
その通りです．
α＝|α|{cos(θ1)+isin(θ1)}
β＝|β|{cos(θ2)+isin(θ2)}
と極形式で表すと，
α＾＝|α|{cos(θ1)-isin(θ1)}＝|α|{cos(-θ1)+isin(-θ1)}
α＾β＝|α||β|{cos(θ2-θ1)+isin(θ2-θ1)}
すると
Im(α＾β)＝|α||β|sin(θ2-θ1)＝|α||β|sin(∠αＯβ)

お礼

どうもありがとうございます！やっとわかりました！
その解答スゴイですね！なんだか奇蹟を垣間見ているようで鳥肌が立ちました。
ありがとうございました。

回答No.1

oshiete_goo

＞α^ βが実数となる。・・・・
［続き］
α^ β＝ｔ（ｔは実数）と置けて
両辺にαをかけると
|α|^2 β＝tα（≠０）
両辺を|α|^2（≠０）で割って
β＝(t/|α|^2）α
ここで t/|α|^2 は実数より　Ｏ，α，βが同一直線上に来ることになり仮定に反す．

ただし，これは模範解答の亜流でつまらないとおっしゃるならば，
＞α^ β - αβ^＝０が成り立たないということを表したいのですが
について，例えば
［別解］
面積公式の一般形
三角形Ｏαβ＝(1／2)|Im(α^ β)|＝(1／2)|(1/2i)(α^ β－αβ^)|
(∵|Im(α^ β)|＝|{|α||β|sin(∠αＯβ)}|)
であるが，仮定α^ β - αβ^＝０ により，三角形Ｏαβの面積＝０となり，三角形Ｏαβが成立せず，題意に反す．よってα^ β - αβ^≠０　でなければならない．

お礼

どうもありがとうございます。続きの解答よくわかりました。参考にします！

＞積公式の一般形
三角形Ｏαβ＝(1／2)|Im(α^ β)|＝(1／2)|(1/2i)(α^ β－αβ^)|
(∵|Im(α^ β)|＝|{|α||β|sin(∠αＯβ)}|)

すいません。Im(α^ β)って(α^ β)の虚部という理解で良いんですよね？
そこでなんですが、(∵|Im(α^ β)|＝|{|α||β|sin(∠αＯβ)}|)がわからないのでもう一度ご教授おねがいできますか？