複素数平面の問題で頭を悩ませております。

質問

複素数平面の問題で頭を悩ませております。

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問：3点A(α)、B(β)、C(γ)が一直線上にあることと、γ－α/β－αが実数であることは、必要十分であることを証明せよ。
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という問題なのですが・・・どう解けばいいのかさっぱりです(ToT)
皆様のお力をお貸し頂きたい次第です。
よろしくお願いします(>_<)

回答No.3

waseda2003

ベクトルを用いても，極形式を用いてもほとんど明らかなので，
このままでは規約違反で削除される可能性があります。
使うべき基本事項を指摘しておきますので，それを参考にして（意味が
わからなければ教科書で確認した上で）答案を作ってみて下さい。

ベクトルによる解法
「３点Ａ，Ｂ，Ｃが一直線上」⇔「↑AC ＝ｋ↑ABを満たす実数kが存在」

極形式による解法
「３点A(α)、B(β)、C(γ)が一直線上」
⇔ ∠BAC = ０°または１８０°
⇔ (γ－α)/(β－α) の偏角が ０°または１８０°

お礼

ありました！
http://www.aristos-web.com/sozai/sample_bunri_text_2.pdf

A(α)、B(β)、C(γ)が同一直線上
⇔∠γαβ＝0,π
⇔arg・γ－α/β－α＝0,π
⇔γ－α/β－α∈R

で、証明完了みたいですね(^_^;)

0、180°は、実軸上ですよね・・・確かに、ほとんど明らかなのかもしれませんが、複素数の勉強を始めたばかりだったので疑問に思い質問してしまいました、すいません(>_<)

すいません、もしよろしければ再度お答えいただきたいのですが、ベクトルによる解法は、どのようにすればよいのでしょうか？
教科書(青チャート)を見てみたのですが、「↑AC ＝ｋ↑ABを満たす実数kが存在」は、ベクトルの平行条件としては紹介されているのですが、「実数であることの証明」は、記載されておりませんでして・・・

A(α)、B(β)、C(γ)が同一直線上
⇔↑AC ＝ｋ↑AB

から、どう展開すればよいのでしょうか？

補足

３点A, B, C が一直線上にあるための必要十分条件は
↑AC = t↑AB
となる実数tがあることである。

という記述をここ↓
http://www.math.u-toyama.ac.jp/~koda/lect/2007kyouyou/2007kyouyou.pdf

で見つけたのですが、やはり、それをどう証明すればよいのかについては、言及されておりませんでして・・・

回答No.2

lialhyd

まずは3点の座標α、β、γをそれぞれ「x+yi」（x,y∈Ｒ）の形においてみることからはじめましょう。
それを用いて、必要条件であることと十分条件であることの２つを証明。
（普通の座標平面で考えるのと一緒）

お礼

置いてみました！

3点A(α)、B(β)、C(γ)を、a1+a1i、b1+b1i、c1+c1iとすると、

γ－α/β－α＝(c1＋c1i)－(a1＋a1i)/(b1＋b1i)－(a1＋a1i)
γ－α/β－α＝c1－a1＋i(c1－a1)/b1－a1＋i(b1－a1)

A(α)、B(β)、C(γ)が同一直線上にあるとき、虚部＝0。

c1－a1＝0
b1－a1＝0

よって、a1＝b1＝c1。

というふうになってしまったのですが、これ間違ってますよね(ToT)
すいません、もしよろしければ、再度複素数を用いた証明方法を、教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.1

Tacosan

複素数平面じゃなくただの xy平面だと思って考えればだいたいできるのでは?

お礼

ベクトルによる証明と、「x＋yi」といった表記を使った証明が、まだ理解できておりませんでして・・・(>_<)