複素数平面の問題で困っています.

質問

複素数zについての一次方程式
az+bα+c=0 (a,b,c∈C)(αはzの共役複素数)
は複素平面において,zを満たす点が
直線を表すか,存在しないか,または1点であることを示せ.

上の問題なのですが, z=x+iy などを代入したり色々してみたのですが手が出ません.
方針だけでもいいのでお願いします.m(、、)m

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

z = x+yi と同時に、
a = α+βi,
b = γ+δi,
c = ε+ηi と置き換えてみましょう。
x,y 同様、α,β,γ,δ,ε,η も実数です。
az+b(z共役)+c=0 へ代入して整理すると
( )+( )i=0 という形に整理でき、
( ) の中身は、どちらも、
α,β,γ,δ,ε,η を含んだ式を係数に持つ
x,y の一次式です。
複素数=0 ⇔ (実部=0 かつ 虚部=0) により、
az+b(z共役)+c=0 は、x,y の連立一次方程式
に変形されたことになります。
よって、質問のような結論になります。

お礼

回答ありがとうございます。
a,b,c=0のとき,zを満たす点は複素平面全体になると思うのですが、
点と直線だけなのでしょうか？

回答No.4

alice_44

＞ a,b,c=0のとき,zを満たす点は複素平面全体になると思うのですが、

そりゃそうだ。
オジサン、一本取られちゃったよ。

お礼

問題に付き合っていただきありがとうございました。m（、、）m

回答No.3

151A48

♯１です。
失礼しました。a,b,c∈Cの条件を見落としました。

♯２さんの回答がでているので，その方針でよいと思います。

連立方程式の解が一意に決まれば１点，不定なら直線，不能なら存在しない，ということですね。

お礼

問題を解決することができました、ありがとうございました。m(、、)m

回答No.1

151A48

z=x+iyとおいて
(a+b)x+c+(a-b)yi=0

(a+b)x+c=0
(a-b)y=0

場合分けすると
a+b≠0,a-0≠0のときx=-c/(a+b),y=0　で１点

a+b≠0, a-b=0 のときx=-c/(a+b), yは任意より直線（ｙ軸平行）

a+b=0, a-b≠0のときy=0
c≠0のとき解なし，c=0のときｘは任意より直線（ｘ軸）

a+b=0, a-b=0のときyは任意
c≠0のとき解なし，c=0のときx任意より全平面

です。

お礼

回答ありがとうございます.
これはa,b,cが実数のときにしか成り立たないのでは？