2直線の直交の証明です。。

質問

次の2直線が直交する条件をa,bを用いて表せという問題なのですが、どなたか教えてください。

　a~z+az~=c
b~z+bz~=d

　ただし、~は複素共役を表し、a,bは複素数、c,dは実数です。

　この二直線の傾きの積が-1になればいいのは分かるのですが、二直線の傾きがもとめられません。

回答No.1

info22_

x,y,a1,a2,b1,b2は実数として複素数を(実部,虚部)の成分表示で書くことにする。

　z=(x,y),a=(a1,a2),b=(b1,b2) ...(1)

とおけば

　z~=(x,-y),a~=(a1,-a2),b~=(b1,-b2) ...(2)

(1),(2)を与えられた２式に代入してやれば

　(a1,-a2)(x,y)+(a1,a2)(x,-y)=(c,0)
　(b1,-b2)(x,y)+(b1,b2)(x,-y)=(d,0)

　(2(a1x+a2y),0)=(c,0) ⇒ a1x+a2y=c
　(2(b1x+b2y),0)=(d,0) ⇒ b1x+b2y=d

この２つのx,yについての直線の式が直交する条件なら求められるでしょう？
つまり
　a2=0のとき　a1b2≠0,b1=0
　a2≠0のとき b2≠0,a1b1+a2b2=0
これらを整理すれば良いでしょう。

なお、
　a1b1+a2b2=0 ⇔　a・b=0 (aとbの内積=0)
a2=Im(a),a1=Re(a),b1=Re(b),b2=Im(b)
で置換え可能です。